Страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.52 a) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}\right)$;

в) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$;

г) $\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$;

д) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{5 \pi}{6}\right)$;

е) $\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{5 \pi}{6}\right)$;

ж) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{5 \pi}{6}\right)\right)$;

з) $\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\left(-\frac{5 \pi}{6}\right)\right)$;

и) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{7 \pi}{4}\right)$.

а) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4})$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Так как значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, то по определению арктангенса верно равенство $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x) = x$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$.
Другой способ решения — вычислить значение тангенса: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$. Тогда $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

б) $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4})$
Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$. Так как значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу, то по определению арккотангенса верно равенство $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}x) = x$.
Следовательно, $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$.
Другой способ решения — вычислить значение котангенса: $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$. Тогда $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}))$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому интервалу.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})) = -\frac{\pi}{4}$.
Другой способ: $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Тогда $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

г) $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}))$
Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ не принадлежит этому интервалу. Необходимо найти такой угол $y \in (0; \pi)$, для которого $\operatorname{ctg}y = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4})$.
Используем периодичность котангенса (период равен $\pi$): $\operatorname{ctg}(x) = \operatorname{ctg}(x+k\pi)$ для любого целого $k$.
$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}+\pi) = \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})$.
Так как $\frac{3\pi}{4} \in (0; \pi)$, то $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4})) = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})) = \frac{3\pi}{4}$.
Другой способ: $\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Тогда $\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

д) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{5\pi}{6})$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значение $\frac{5\pi}{6}$ не принадлежит этому интервалу. Необходимо найти такой угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\operatorname{tg}y = \operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6})$.
Используем периодичность тангенса (период равен $\pi$): $\operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x+k\pi)$ для любого целого $k$.
$\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}) = \operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}-\pi) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6})$.
Так как $-\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6})) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6})) = -\frac{\pi}{6}$.
Другой способ: $\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Тогда $\operatorname{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

е) $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{6})$
Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$. Значение $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит этому интервалу.
Следовательно, $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(\frac{5\pi}{6})) = \frac{5\pi}{6}$.
Другой способ: $\operatorname{ctg}(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3}$. Тогда $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

ж) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}))$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значение $-\frac{5\pi}{6}$ не принадлежит этому интервалу. Используем периодичность тангенса.
$\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}) = \operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}+\pi) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$.
Так как $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6})) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{6}$.
Другой способ: $\operatorname{tg}(-\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Тогда $\operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

з) $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6}))$
Область значений функции арккотангенс — это интервал $(0; \pi)$. Значение $-\frac{5\pi}{6}$ не принадлежит этому интервалу. Используем периодичность котангенса.
$\operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6}) = \operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6}+\pi) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$.
Так как $\frac{\pi}{6} \in (0; \pi)$, то $\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6})) = \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{6}$.
Другой способ: $\operatorname{ctg}(-\frac{5\pi}{6}) = \sqrt{3}$. Тогда $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

и) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{4})$
Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значение $\frac{7\pi}{4}$ не принадлежит этому интервалу. Используем периодичность тангенса.
$\operatorname{tg}(\frac{7\pi}{4}) = \operatorname{tg}(\frac{7\pi}{4}-2\pi) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})$.
Так как $-\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\frac{7\pi}{4})) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})) = -\frac{\pi}{4}$.
Другой способ: $\operatorname{tg}(\frac{7\pi}{4}) = \operatorname{tg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$. Тогда $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

8.53 a) $\text{arctg}(\text{tg}\ 5)$;

б) $\text{arcctg}(\text{ctg}\ 5)$;

В) $\text{arctg}(\text{tg}\ (-7))$;

г) $\text{arcctg}(\text{ctg}\ (-7))$;

д) $\text{arctg}(\text{tg}\ (-10))$;

е) $\text{arcctg}(\text{ctg}\ (-10))$.

а) arctg(tg 5)

По определению, значение арктангенса $y = \mathrm{arctg}(x)$ лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Таким образом, равенство $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}(\alpha)) = \alpha$ справедливо только для $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

В данном случае $\alpha=5$. Оценим значение $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$. Число 5 не принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Функция тангенс является периодической с периодом $\pi$, то есть $\mathrm{tg}(\alpha) = \mathrm{tg}(\alpha + n\pi)$ для любого целого $n$. Нам нужно найти такое целое число $n$, чтобы величина $\beta = 5 + n\pi$ попала в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Решим двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} < 5 + n\pi < \frac{\pi}{2}$.

Вычтем 5 из всех частей: $-\frac{\pi}{2} - 5 < n\pi < \frac{\pi}{2} - 5$.

Разделим на $\pi$: $-\frac{1}{2} - \frac{5}{\pi} < n < \frac{1}{2} - \frac{5}{\pi}$.

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$: $-0.5 - \frac{5}{3.14159} < n < 0.5 - \frac{5}{3.14159}$, что дает $-0.5 - 1.59 < n < 0.5 - 1.59$, или $-2.09 < n < -1.09$.

Единственное целое число в этом интервале — это $n=-2$.

Следовательно, искомое значение равно $5 + (-2)\pi = 5 - 2\pi$.

Ответ: $5 - 2\pi$.

б) arcctg(ctg 5)

По определению, значение арккотангенса $y = \mathrm{arcctg}(x)$ лежит в интервале $(0, \pi)$. Равенство $\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}(\alpha)) = \alpha$ справедливо только для $\alpha \in (0, \pi)$.

В данном случае $\alpha=5$. Оценим значение $\pi \approx 3.14159$. Число 5 не принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Функция котангенс является периодической с периодом $\pi$, то есть $\mathrm{ctg}(\alpha) = \mathrm{ctg}(\alpha + n\pi)$ для любого целого $n$. Найдем такое целое число $n$, чтобы величина $\beta = 5 + n\pi$ попала в интервал $(0, \pi)$.

Решим неравенство: $0 < 5 + n\pi < \pi$.

Вычтем 5 из всех частей: $-5 < n\pi < \pi - 5$.

Разделим на $\pi$: $-\frac{5}{\pi} < n < 1 - \frac{5}{\pi}$.

Используя $\pi \approx 3.14159$: $-\frac{5}{3.14159} < n < 1 - \frac{5}{3.14159}$, что дает $-1.59 < n < 1 - 1.59$, или $-1.59 < n < -0.59$.

Единственное целое число в этом интервале — это $n=-1$.

Следовательно, искомое значение равно $5 + (-1)\pi = 5 - \pi$.

Ответ: $5 - \pi$.

в) arctg(tg (-7))

Область значений арктангенса — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1.57, 1.57)$. Число -7 не принадлежит этому интервалу.

Используя периодичность тангенса ($\mathrm{tg}(\alpha) = \mathrm{tg}(\alpha+n\pi)$), найдем такое целое $n$, чтобы величина $\beta = -7 + n\pi$ принадлежала интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Решим неравенство: $-\frac{\pi}{2} < -7 + n\pi < \frac{\pi}{2}$.

Прибавим 7 ко всем частям: $7 - \frac{\pi}{2} < n\pi < 7 + \frac{\pi}{2}$.

Разделим на $\pi$: $\frac{7}{\pi} - \frac{1}{2} < n < \frac{7}{\pi} + \frac{1}{2}$.

Используя $\pi \approx 3.14159$: $\frac{7}{3.14159} - 0.5 < n < \frac{7}{3.14159} + 0.5$, что дает $2.23 - 0.5 < n < 2.23 + 0.5$, или $1.73 < n < 2.73$.

Единственное целое число в этом интервале — это $n=2$.

Следовательно, искомое значение равно $-7 + 2\pi$.

Ответ: $2\pi - 7$.

г) arcctg(ctg (-7))

Область значений арккотангенса — это интервал $(0, \pi) \approx (0, 3.14)$. Число -7 не принадлежит этому интервалу.

Используя периодичность котангенса ($\mathrm{ctg}(\alpha) = \mathrm{ctg}(\alpha+n\pi)$), найдем такое целое $n$, чтобы величина $\beta = -7 + n\pi$ принадлежала интервалу $(0, \pi)$.

Решим неравенство: $0 < -7 + n\pi < \pi$.

Прибавим 7 ко всем частям: $7 < n\pi < 7 + \pi$.

Разделим на $\pi$: $\frac{7}{\pi} < n < \frac{7}{\pi} + 1$.

Используя $\pi \approx 3.14159$: $\frac{7}{3.14159} < n < \frac{7}{3.14159} + 1$, что дает $2.23 < n < 2.23 + 1$, или $2.23 < n < 3.23$.

Единственное целое число в этом интервале — это $n=3$.

Следовательно, искомое значение равно $-7 + 3\pi$.

Ответ: $3\pi - 7$.

д) arctg(tg (-10))

Область значений арктангенса — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1.57, 1.57)$. Число -10 не принадлежит этому интервалу.

Используя периодичность тангенса ($\mathrm{tg}(\alpha) = \mathrm{tg}(\alpha+n\pi)$), найдем такое целое $n$, чтобы величина $\beta = -10 + n\pi$ принадлежала интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Решим неравенство: $-\frac{\pi}{2} < -10 + n\pi < \frac{\pi}{2}$.

Прибавим 10 ко всем частям: $10 - \frac{\pi}{2} < n\pi < 10 + \frac{\pi}{2}$.

Разделим на $\pi$: $\frac{10}{\pi} - \frac{1}{2} < n < \frac{10}{\pi} + \frac{1}{2}$.

Используя $\pi \approx 3.14159$: $\frac{10}{3.14159} - 0.5 < n < \frac{10}{3.14159} + 0.5$, что дает $3.18 - 0.5 < n < 3.18 + 0.5$, или $2.68 < n < 3.68$.

Единственное целое число в этом интервале — это $n=3$.

Следовательно, искомое значение равно $-10 + 3\pi$.

Ответ: $3\pi - 10$.

е) arcctg(ctg (-10))

Область значений арккотангенса — это интервал $(0, \pi) \approx (0, 3.14)$. Число -10 не принадлежит этому интервалу.

Используя периодичность котангенса ($\mathrm{ctg}(\alpha) = \mathrm{ctg}(\alpha+n\pi)$), найдем такое целое $n$, чтобы величина $\beta = -10 + n\pi$ принадлежала интервалу $(0, \pi)$.

Решим неравенство: $0 < -10 + n\pi < \pi$.

Прибавим 10 ко всем частям: $10 < n\pi < 10 + \pi$.

Разделим на $\pi$: $\frac{10}{\pi} < n < \frac{10}{\pi} + 1$.

Используя $\pi \approx 3.14159$: $\frac{10}{3.14159} < n < \frac{10}{3.14159} + 1$, что дает $3.18 < n < 3.18 + 1$, или $3.18 < n < 4.18$.

Единственное целое число в этом интервале — это $n=4$.

Следовательно, искомое значение равно $-10 + 4\pi$.

Ответ: $4\pi - 10$.