Страница 262 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.15 a) Косинус острого угла равен 0,2. Найдите косинус смежного угла.

б) Синус острого угла равен $\frac{1}{3}$. Найдите синус смежного угла.

а)

Пусть $\alpha$ — это данный острый угол. По условию задачи, его косинус равен 0,2:
$\cos(\alpha) = 0,2$
Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Пусть $\beta$ — это угол, смежный с углом $\alpha$. Тогда их сумма равна $180^\circ$:
$\alpha + \beta = 180^\circ$
Отсюда $\beta = 180^\circ - \alpha$.
Нам нужно найти косинус угла $\beta$. Для этого воспользуемся формулой приведения:
$\cos(\beta) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$
Подставляем известное значение $\cos(\alpha)$:
$\cos(\beta) = -0,2$
Так как $\alpha$ — острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то смежный с ним угол $\beta$ будет тупым ($90^\circ < \beta < 180^\circ$), а косинус тупого угла отрицателен, что соответствует полученному результату.
Ответ: -0,2

б)

Пусть $\alpha$ — это данный острый угол. По условию задачи, его синус равен $\frac{1}{3}$:
$\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$
Пусть $\beta$ — это угол, смежный с углом $\alpha$. Их сумма равна $180^\circ$:
$\alpha + \beta = 180^\circ$
Следовательно, $\beta = 180^\circ - \alpha$.
Нам нужно найти синус угла $\beta$. Для этого воспользуемся формулой приведения:
$\sin(\beta) = \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$
Подставляем известное значение $\sin(\alpha)$:
$\sin(\beta) = \frac{1}{3}$
Так как $\alpha$ — острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то смежный с ним угол $\beta$ будет тупым ($90^\circ < \beta < 180^\circ$). Синус как острого, так и тупого угла положителен, что соответствует полученному результату.
Ответ: $\frac{1}{3}$

9.16 a) Найдите $\cos \alpha \cos \beta$, если $\cos (\alpha + \beta) = \frac{1}{5}$, $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$.

б) Найдите $\sin \alpha \sin \beta$, если $\cos (\alpha + \beta) = -\frac{1}{3}$, $\cos (\alpha - \beta) = \frac{4}{5}$.

а) Для решения этой задачи воспользуемся формулами косинуса суммы и разности двух углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Сложим эти два равенства:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta$

Отсюда выразим искомое произведение:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2}$

Подставим известные значения $\cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{5}$ и $\cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$:

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{2+5}{10}}{2} = \frac{\frac{7}{10}}{2} = \frac{7}{20}$

Ответ: $\frac{7}{20}$

б) Используем те же формулы косинуса суммы и разности:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Теперь вычтем первое равенство из второго:

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) - (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)$

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2 \sin \alpha \sin \beta$

Отсюда выразим искомое произведение:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{2}$

Подставим известные значения $\cos(\alpha + \beta) = -\frac{1}{3}$ и $\cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5}$:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{\frac{4}{5} - (-\frac{1}{3})}{2} = \frac{\frac{4}{5} + \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{12+5}{15}}{2} = \frac{\frac{17}{15}}{2} = \frac{17}{30}$

Ответ: $\frac{17}{30}$

9.17 a) Найдите $ \cos(\alpha + \beta) $, если $ 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} $, $ 180^{\circ} < \beta < 270^{\circ} $, $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $, $ \sin \beta = -\frac{1}{2} $.

б) Найдите $ \cos(\alpha - \beta) $, если $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $, $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos \beta = -1 $.

а)

Чтобы найти $\cos(\alpha + \beta)$, воспользуемся формулой косинуса суммы углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

По условию задачи нам даны значения $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $\sin \beta = -\frac{1}{2}$. Нам необходимо найти $\sin \alpha$ и $\cos \beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и информацию о четвертях, в которых находятся углы.

1. Найдем $\sin \alpha$.

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Поскольку угол $\alpha$ находится в интервале $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (I четверть), значение синуса для этого угла положительно. Следовательно, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем $\cos \beta$.

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\cos \beta = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Поскольку угол $\beta$ находится в интервале $180^\circ < \beta < 270^\circ$ (III четверть), значение косинуса для этого угла отрицательно. Следовательно, $\cos \beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Теперь подставим все известные и найденные значения в формулу косинуса суммы:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} - (-\frac{\sqrt{3}}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$.

Ответ: 0

б)

Чтобы найти $\cos(\alpha - \beta)$, воспользуемся формулой косинуса разности углов:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

По условию задачи нам даны значения $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \beta = -1$. Нам необходимо найти $\cos \alpha$ и $\sin \beta$.

1. Найдем $\cos \alpha$.

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Поскольку угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (IV четверть), значение косинуса для этого угла положительно. Следовательно, $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем $\sin \beta$.

Если $\cos \beta = -1$, то это соответствует углу $\beta = \pi + 2\pi k$, где $k$ - целое число. Для таких углов синус всегда равен 0.

Также можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$

Следовательно, $\sin \beta = 0$.

3. Теперь подставим все значения в формулу косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-1) + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

9.18* Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:

а) $ \cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha $;

б) $ \cos \alpha + \sin \alpha $;

в) $ \cos \alpha - \sin \alpha $.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражений вида $A \cos \alpha + B \sin \alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Суть метода заключается в преобразовании выражения к виду $R \cos(\alpha \mp \varphi)$ или $R \sin(\alpha \pm \varphi)$, где $R = \sqrt{A^2 + B^2}$. Поскольку функции синуса и косинуса принимают значения в диапазоне от -1 до 1, то преобразованное выражение будет принимать значения в диапазоне от $-R$ до $R$. Таким образом, наибольшее значение выражения равно $R$, а наименьшее — $-R$.

а) Рассмотрим выражение $\cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha$.
Здесь коэффициенты при $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ равны $A=1$ и $B=-\sqrt{3}$.
Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Теперь преобразуем исходное выражение, вынеся $R=2$ за скобки: $\cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right)$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в выражение в скобках: $2 \left( \cos(\frac{\pi}{3}) \cos \alpha - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin \alpha \right)$.
Это выражение соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
Таким образом, получаем: $2 \cos(\alpha + \frac{\pi}{3})$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(\alpha + \frac{\pi}{3}) \le 1$.
Умножив все части неравенства на 2, получим диапазон значений для нашего выражения: $-2 \le 2 \cos(\alpha + \frac{\pi}{3}) \le 2$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее равно 2.
Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 2.

б) Рассмотрим выражение $\cos \alpha + \sin \alpha$.
Здесь $A=1$ и $B=1$.
Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Преобразуем выражение: $\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha \right)$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Подставив, получим: $\sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4}) \cos \alpha + \sin(\frac{\pi}{4}) \sin \alpha \right)$.
Используя формулу косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$, получаем: $\sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$.
Поскольку $-1 \le \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) \le 1$, то умножив на $\sqrt{2}$, имеем: $-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно $-\sqrt{2}$, а наибольшее равно $\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшее значение: $-\sqrt{2}$, наибольшее значение: $\sqrt{2}$.

в) Рассмотрим выражение $\cos \alpha - \sin \alpha$.
Здесь $A=1$ и $B=-1$.
Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Преобразуем выражение: $\cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha \right)$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Подставив, получим: $\sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4}) \cos \alpha - \sin(\frac{\pi}{4}) \sin \alpha \right)$.
Используя формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$, получаем: $\sqrt{2} \cos(\alpha + \frac{\pi}{4})$.
Так как $-1 \le \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) \le 1$, то, умножив на $\sqrt{2}$: $-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$.
Следовательно, наименьшее значение выражения равно $-\sqrt{2}$, а наибольшее равно $\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшее значение: $-\sqrt{2}$, наибольшее значение: $\sqrt{2}$.