Страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.36 а) $\sin \alpha + \sin 3\alpha;$

б) $\cos 3\alpha - \cos \alpha;$

в) $\sin 3\alpha - \sin 5\alpha;$

г) $\cos 7\alpha + \cos \alpha;$

д) $\sin \alpha + \cos \alpha;$

е) $\cos \alpha - \sin \alpha.$

а) Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

В данном случае, чтобы избежать отрицательного знака в аргументе косинуса, поменяем слагаемые местами (от этого сумма не изменится): $\sin 3\alpha + \sin \alpha$.

Применим формулу, где $x = 3\alpha$ и $y = \alpha$:

$\sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)$.

Ответ: $2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)$

б) Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = 3\alpha$ и $y = \alpha$:

$\cos 3\alpha - \cos \alpha = -2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin\frac{3\alpha-\alpha}{2} = -2 \sin\frac{4\alpha}{2} \sin\frac{2\alpha}{2} = -2 \sin(2\alpha) \sin(\alpha)$.

Ответ: $-2 \sin(2\alpha) \sin(\alpha)$

в) Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$.

В данном случае $x = 3\alpha$ и $y = 5\alpha$:

$\sin 3\alpha - \sin 5\alpha = 2 \sin\frac{3\alpha-5\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha+5\alpha}{2} = 2 \sin\frac{-2\alpha}{2} \cos\frac{8\alpha}{2} = 2 \sin(-\alpha) \cos(4\alpha)$.

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:

$2 \sin(-\alpha) \cos(4\alpha) = -2 \sin(\alpha) \cos(4\alpha)$.

Ответ: $-2 \sin(\alpha) \cos(4\alpha)$

г) Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = 7\alpha$ и $y = \alpha$:

$\cos 7\alpha + \cos \alpha = 2 \cos\frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos\frac{8\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha}{2} = 2 \cos(4\alpha) \cos(3\alpha)$.

Ответ: $2 \cos(4\alpha) \cos(3\alpha)$

д) Чтобы преобразовать данную сумму в произведение, сначала приведем оба слагаемых к одной тригонометрической функции. Используя формулу приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, заменим косинус на синус:

$\sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Теперь применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$, где $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{2} - \alpha$:

$\sin \alpha + \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2 \sin\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} \cos\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = 2 \sin\frac{\pi/2}{2} \cos\frac{2\alpha - \pi/2}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{4}) \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $\sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$

е) Преобразуем данное выражение, приведя слагаемые к одной функции. Заменим $\sin \alpha$ на $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, используя формулу приведения:

$\cos \alpha - \sin \alpha = \cos \alpha - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$, где $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{2} - \alpha$:

$\cos \alpha - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -2 \sin\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} \sin\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = -2 \sin\frac{\pi/2}{2} \sin\frac{2\alpha - \pi/2}{2} = -2 \sin(\frac{\pi}{4}) \sin(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

Используя свойство нечетности синуса $-\sin(z) = \sin(-z)$, можно переписать выражение для более удобного вида:

$-\sqrt{2} \sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(-(\alpha - \frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Ответ: $\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

9.37 a) $cos 40^\circ + cos 30^\circ + cos 20^\circ + cos 10^\circ;$

б) $sin 5^\circ + sin 10^\circ + sin 15^\circ + sin 20^\circ.$

а) $ \cos 40^\circ + \cos 30^\circ + \cos 20^\circ + \cos 10^\circ $

Для решения этой задачи представим сумму в виде произведения. Для этого сгруппируем слагаемые: $(\cos 40^\circ + \cos 10^\circ) + (\cos 30^\circ + \cos 20^\circ)$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Преобразуем первую группу:

$ \cos 40^\circ + \cos 10^\circ = 2 \cos \frac{40^\circ+10^\circ}{2} \cos \frac{40^\circ-10^\circ}{2} = 2 \cos 25^\circ \cos 15^\circ $.

Преобразуем вторую группу:

$ \cos 30^\circ + \cos 20^\circ = 2 \cos \frac{30^\circ+20^\circ}{2} \cos \frac{30^\circ-20^\circ}{2} = 2 \cos 25^\circ \cos 5^\circ $.

Теперь подставим полученные выражения в исходную сумму:

$ 2 \cos 25^\circ \cos 15^\circ + 2 \cos 25^\circ \cos 5^\circ $.

Вынесем общий множитель $ 2 \cos 25^\circ $ за скобки:

$ 2 \cos 25^\circ (\cos 15^\circ + \cos 5^\circ) $.

Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$ \cos 15^\circ + \cos 5^\circ = 2 \cos \frac{15^\circ+5^\circ}{2} \cos \frac{15^\circ-5^\circ}{2} = 2 \cos 10^\circ \cos 5^\circ $.

Подставим результат обратно и получим окончательный ответ:

$ 2 \cos 25^\circ \cdot (2 \cos 10^\circ \cos 5^\circ) = 4 \cos 5^\circ \cos 10^\circ \cos 25^\circ $.

Ответ: $ 4 \cos 5^\circ \cos 10^\circ \cos 25^\circ $.

б) $ \sin 5^\circ + \sin 10^\circ + \sin 15^\circ + \sin 20^\circ $

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(\sin 20^\circ + \sin 5^\circ) + (\sin 15^\circ + \sin 10^\circ)$.

Воспользуемся формулой суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Преобразуем первую группу:

$ \sin 20^\circ + \sin 5^\circ = 2 \sin \frac{20^\circ+5^\circ}{2} \cos \frac{20^\circ-5^\circ}{2} = 2 \sin 12.5^\circ \cos 7.5^\circ $.

Преобразуем вторую группу:

$ \sin 15^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin \frac{15^\circ+10^\circ}{2} \cos \frac{15^\circ-10^\circ}{2} = 2 \sin 12.5^\circ \cos 2.5^\circ $.

Подставим полученные выражения в исходную сумму:

$ 2 \sin 12.5^\circ \cos 7.5^\circ + 2 \sin 12.5^\circ \cos 2.5^\circ $.

Вынесем общий множитель $ 2 \sin 12.5^\circ $ за скобки:

$ 2 \sin 12.5^\circ (\cos 7.5^\circ + \cos 2.5^\circ) $.

Теперь к выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \cos 7.5^\circ + \cos 2.5^\circ = 2 \cos \frac{7.5^\circ+2.5^\circ}{2} \cos \frac{7.5^\circ-2.5^\circ}{2} = 2 \cos 5^\circ \cos 2.5^\circ $.

Подставим результат обратно и получим окончательный ответ:

$ 2 \sin 12.5^\circ \cdot (2 \cos 5^\circ \cos 2.5^\circ) = 4 \cos 2.5^\circ \cos 5^\circ \sin 12.5^\circ $.

Ответ: $ 4 \cos 2.5^\circ \cos 5^\circ \sin 12.5^\circ $.

9.38 Докажите справедливость равенства:

a) $ \sin 50^\circ + \sin 10^\circ - \cos 20^\circ = 0; $

б) $ \cos 48^\circ + \sin 18^\circ - \cos 12^\circ = 0. $

а) Для доказательства равенства $\sin 50^\circ + \sin 10^\circ - \cos 20^\circ = 0$ преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой суммы синусов для первых двух слагаемых:
$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
Применим эту формулу к выражению $\sin 50^\circ + \sin 10^\circ$:
$\sin 50^\circ + \sin 10^\circ = 2\sin\frac{50^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{50^\circ-10^\circ}{2} = 2\sin\frac{60^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ}{2} = 2\sin 30^\circ \cos 20^\circ$
Мы знаем, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в полученное выражение:
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ = \cos 20^\circ$
Теперь подставим результат обратно в исходное равенство:
$(\sin 50^\circ + \sin 10^\circ) - \cos 20^\circ = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 0$
Получили верное тождество $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $\cos 48^\circ + \sin 18^\circ - \cos 12^\circ = 0$ преобразуем левую часть. Сгруппируем слагаемые с косинусами и применим формулу разности косинусов:
$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
Преобразуем выражение $\cos 48^\circ - \cos 12^\circ$:
$\cos 48^\circ - \cos 12^\circ = -2\sin\frac{48^\circ+12^\circ}{2}\sin\frac{48^\circ-12^\circ}{2} = -2\sin\frac{60^\circ}{2}\sin\frac{36^\circ}{2} = -2\sin 30^\circ \sin 18^\circ$
Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = -\sin 18^\circ$
Теперь подставим полученный результат в исходное равенство, предварительно сгруппировав его:
$(\cos 48^\circ - \cos 12^\circ) + \sin 18^\circ = -\sin 18^\circ + \sin 18^\circ = 0$
Получили верное тождество $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.

9.39 Вычислите:

а) $cos \frac{5\pi}{12} + cos \frac{\pi}{12}$;

б) $cos \frac{7\pi}{12} - cos \frac{\pi}{12}$;

в) $sin \frac{5\pi}{12} + sin \frac{\pi}{12}$;

г) $sin \frac{7\pi}{12} - sin \frac{\pi}{12}$.

а)

Для вычисления суммы косинусов $\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.

Найдем полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$

Подставим полученные значения в формулу:

$\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} = 2 \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}$

Используем табличные значения косинусов: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

б)

Для вычисления разности косинусов $\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования разности косинусов в произведение:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

В данном случае $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.

Найдем полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{8\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставим значения в формулу:

$\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} = -2 \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

Используем табличные значения синусов: $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}$

в)

Для вычисления суммы синусов $\sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования суммы синусов в произведение:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$

Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$. Полусумма и полуразность углов уже были найдены в пункте а):

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{4}$ и $\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\pi}{6}$

Подставим эти значения в формулу:

$\sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}$

Используем табличные значения: $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

г)

Для вычисления разности синусов $\sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение:

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

Здесь $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$. Полусумма и полуразность углов были найдены в пункте б):

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{3}$ и $\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставим эти значения в формулу:

$\sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} = 2 \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

Используем табличные значения: $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

9.40 Докажите справедливость равенства:

a) $\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{7\pi}{12} = 0;$

б) $\sin \frac{3\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{5} = 0;$

в) $\cos \frac{9\pi}{14} + \cos \frac{5\pi}{14} = 0;$

г) $\sin \frac{3\pi}{10} - \sin \frac{7\pi}{10} = 0.$

а) Для доказательства воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.
Применим эту формулу к левой части равенства:
$ \cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{7\pi}{12} = 2 \cos\frac{\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12}}{2} \cos\frac{\frac{5\pi}{12} - \frac{7\pi}{12}}{2} = 2 \cos\frac{\frac{12\pi}{12}}{2} \cos\frac{-\frac{2\pi}{12}}{2} = 2 \cos\frac{\pi}{2} \cos(-\frac{\pi}{12}) $.
Поскольку $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $, то всё произведение равно нулю:
$ 2 \cdot 0 \cdot \cos(-\frac{\pi}{12}) = 0 $.
Таким образом, равенство $ \cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{7\pi}{12} = 0 $ справедливо.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: $ \sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2} $.
Применим эту формулу к левой части равенства:
$ \sin\frac{3\pi}{5} - \sin\frac{2\pi}{5} = 2 \sin\frac{\frac{3\pi}{5} - \frac{2\pi}{5}}{2} \cos\frac{\frac{3\pi}{5} + \frac{2\pi}{5}}{2} = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{5}}{2} \cos\frac{\frac{5\pi}{5}}{2} = 2 \sin\frac{\pi}{10} \cos\frac{\pi}{2} $.
Поскольку $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $, то всё произведение равно нулю:
$ 2 \sin\frac{\pi}{10} \cdot 0 = 0 $.
Таким образом, равенство $ \sin\frac{3\pi}{5} - \sin\frac{2\pi}{5} = 0 $ справедливо. В качестве альтернативного доказательства можно использовать формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $. Заметив, что $ \frac{3\pi}{5} = \pi - \frac{2\pi}{5} $, получаем $ \sin\frac{3\pi}{5} = \sin(\pi - \frac{2\pi}{5}) = \sin\frac{2\pi}{5} $. Тогда исходное выражение превращается в $ \sin\frac{2\pi}{5} - \sin\frac{2\pi}{5} = 0 $.
Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.
Применим эту формулу к левой части равенства:
$ \cos\frac{9\pi}{14} + \cos\frac{5\pi}{14} = 2 \cos\frac{\frac{9\pi}{14} + \frac{5\pi}{14}}{2} \cos\frac{\frac{9\pi}{14} - \frac{5\pi}{14}}{2} = 2 \cos\frac{\frac{14\pi}{14}}{2} \cos\frac{\frac{4\pi}{14}}{2} = 2 \cos\frac{\pi}{2} \cos\frac{2\pi}{14} = 2 \cos\frac{\pi}{2} \cos\frac{\pi}{7} $.
Поскольку $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $, то всё произведение равно нулю:
$ 2 \cdot 0 \cdot \cos\frac{\pi}{7} = 0 $.
Таким образом, равенство $ \cos\frac{9\pi}{14} + \cos\frac{5\pi}{14} = 0 $ справедливо.
Ответ: Равенство доказано.

г) Для доказательства воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: $ \sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2} $.
Применим эту формулу к левой части равенства:
$ \sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{7\pi}{10} = 2 \sin\frac{\frac{3\pi}{10} - \frac{7\pi}{10}}{2} \cos\frac{\frac{3\pi}{10} + \frac{7\pi}{10}}{2} = 2 \sin\frac{-\frac{4\pi}{10}}{2} \cos\frac{\frac{10\pi}{10}}{2} = 2 \sin(-\frac{2\pi}{10}) \cos\frac{\pi}{2} = 2 \sin(-\frac{\pi}{5}) \cos\frac{\pi}{2} $.
Поскольку $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $, то всё произведение равно нулю:
$ 2 \sin(-\frac{\pi}{5}) \cdot 0 = 0 $.
Таким образом, равенство $ \sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{7\pi}{10} = 0 $ справедливо. В качестве альтернативного доказательства можно использовать формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $. Заметив, что $ \frac{7\pi}{10} = \pi - \frac{3\pi}{10} $, получаем $ \sin\frac{7\pi}{10} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{10}) = \sin\frac{3\pi}{10} $. Тогда исходное выражение превращается в $ \sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{3\pi}{10} = 0 $.
Ответ: Равенство доказано.

9.41* Вычислите:

а) $ \cos 75^\circ \cdot \cos 105^\circ; $

б) $ \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ; $

в) $ \cos \frac{75^\circ}{2} \cdot \cos \frac{15^\circ}{2}; $

г) $ \sin 105^\circ \cdot \cos 15^\circ. $

а) Для вычисления произведения косинусов воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $ \cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.
Подставим значения $ \alpha = 105^\circ $ и $ \beta = 75^\circ $:
$ \cos 75^\circ \cdot \cos 105^\circ = \frac{1}{2}(\cos(105^\circ + 75^\circ) + \cos(105^\circ - 75^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(180^\circ) + \cos(30^\circ)) $.
Подставляем табличные значения $ \cos 180^\circ = -1 $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $:
$ \frac{1}{2}\left(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3} - 2}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} - 2}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3} - 2}{4} $.

б) Для вычисления произведения синусов используем формулу преобразования произведения в сумму: $ \sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.
Подставим $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $:
$ \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ = \frac{1}{2}(\cos(75^\circ - 15^\circ) - \cos(75^\circ + 15^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos 90^\circ) $.
Подставляем табличные значения $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $ и $ \cos 90^\circ = 0 $:
$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - 0\right) = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

в) Снова используем формулу произведения косинусов: $ \cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.
В данном случае $ \alpha = \frac{75^\circ}{2} $ и $ \beta = \frac{15^\circ}{2} $:
$ \cos \frac{75^\circ}{2} \cdot \cos \frac{15^\circ}{2} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{75^\circ}{2} + \frac{15^\circ}{2}\right) + \cos\left(\frac{75^\circ}{2} - \frac{15^\circ}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{90^\circ}{2} + \cos\frac{60^\circ}{2}\right) $.
Упрощаем выражение:
$ \frac{1}{2}(\cos 45^\circ + \cos 30^\circ) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} $.

г) Для вычисления произведения синуса на косинус применяем формулу: $ \sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.
Подставим значения $ \alpha = 105^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $:
$ \sin 105^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{1}{2}(\sin(105^\circ + 15^\circ) + \sin(105^\circ - 15^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 120^\circ + \sin 90^\circ) $.
Используем формулу приведения $ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и табличное значение $ \sin 90^\circ = 1 $:
$ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3} + 2}{2}\right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{2 + \sqrt{3}}{4} $.

9.42* Докажите справедливость равенства:

a) $ \sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ; $

б) $ \cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ; $

в) $ \sin 87^\circ - \sin 93^\circ - \sin 59^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ. $

а) Докажем справедливость равенства $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$.

Для этого преобразуем левую часть равенства, применив формулу суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

Подставим наши значения $\alpha = 35^\circ$ и $\beta = 25^\circ$:

$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\frac{35^\circ + 25^\circ}{2} \cos\frac{35^\circ - 25^\circ}{2} = 2 \sin\frac{60^\circ}{2} \cos\frac{10^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos 5^\circ$.

Зная, что значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ$.

Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\cos 5^\circ = \cos 5^\circ$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.

б) Докажем справедливость равенства $\cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства. С помощью формулы приведения $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$ заменим косинус на синус:

$\cos 20^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \sin 70^\circ$.

Теперь исходное выражение в левой части примет вид:

$\sin 70^\circ - \sin 50^\circ$.

Применим формулу разности синусов:

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin 70^\circ - \sin 50^\circ = 2 \cos\frac{70^\circ + 50^\circ}{2} \sin\frac{70^\circ - 50^\circ}{2} = 2 \cos\frac{120^\circ}{2} \sin\frac{20^\circ}{2} = 2 \cos 60^\circ \sin 10^\circ$.

Зная, что значение $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 10^\circ = \sin 10^\circ$.

Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\sin 10^\circ = \sin 10^\circ$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.

в) Докажем справедливость равенства $\sin 87^\circ - \sin 93^\circ - \sin 59^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$.

Преобразуем левую часть, сгруппировав слагаемые следующим образом:

$(\sin 87^\circ - \sin 93^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ)$.

Рассмотрим первую группу $(\sin 87^\circ - \sin 93^\circ)$. Используем формулы приведения:

$\sin 87^\circ = \sin(90^\circ - 3^\circ) = \cos 3^\circ$.

$\sin 93^\circ = \sin(90^\circ + 3^\circ) = \cos 3^\circ$.

Тогда разность равна: $\sin 87^\circ - \sin 93^\circ = \cos 3^\circ - \cos 3^\circ = 0$.

Теперь рассмотрим вторую группу $(\sin 61^\circ - \sin 59^\circ)$. Применим формулу разности синусов:

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin 61^\circ - \sin 59^\circ = 2 \cos\frac{61^\circ + 59^\circ}{2} \sin\frac{61^\circ - 59^\circ}{2} = 2 \cos\frac{120^\circ}{2} \sin\frac{2^\circ}{2} = 2 \cos 60^\circ \sin 1^\circ$.

Так как $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 1^\circ = \sin 1^\circ$.

Сложим результаты преобразования обеих групп:

$0 + \sin 1^\circ = \sin 1^\circ$.

Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\sin 1^\circ = \sin 1^\circ$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.

9.43* Докажите, что $\vert \sin \alpha + \cos \alpha \vert \le \sqrt{2}$.

Для доказательства неравенства $|\sin \alpha + \cos \alpha| \le \sqrt{2}$ можно использовать несколько методов.

Способ 1: Метод вспомогательного угла

Преобразуем выражение в левой части неравенства. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right)$

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим эти значения в выражение:

$\sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos\frac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin\frac{\pi}{4} \right)$

Теперь воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Выражение принимает вид:

$\sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$

Таким образом, исходное неравенство $|\sin \alpha + \cos \alpha| \le \sqrt{2}$ эквивалентно следующему:

$\left|\sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\right| \le \sqrt{2}$

$\sqrt{2} \left|\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\right| \le \sqrt{2}$

Разделив обе части на $\sqrt{2}$, получим:

$\left|\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\right| \le 1$

Это неравенство верно для любого значения угла $\alpha$, так как область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, и, следовательно, модуль синуса любого угла не превышает 1. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Способ 2: Возведение в квадрат

Поскольку обе части доказываемого неравенства $|\sin \alpha + \cos \alpha| \le \sqrt{2}$ являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(|\sin \alpha + \cos \alpha|)^2 \le (\sqrt{2})^2$

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 \le 2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \le 2$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha \le 2$

$1 + \sin(2\alpha) \le 2$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$\sin(2\alpha) \le 1$

Полученное неравенство справедливо для любого действительного значения $\alpha$, так как максимальное значение функции синус равно 1. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

9.44 Представьте в виде произведения:

а) $1 + 2 \sin \alpha = 2 \left(\frac{1}{2} + \sin \alpha\right) = 2 \left(\sin \frac{\pi}{6} + \sin \alpha\right) = ...;$

б) $1 - 2 \cos \alpha;$

в) $\sqrt{3} - 2 \sin \alpha.$

а) Следуя подсказке в задании, преобразуем выражение. Сначала выносим 2 за скобки, затем заменяем $\frac{1}{2}$ на $\sin \frac{\pi}{6}$: $1 + 2 \sin \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} + \sin \alpha \right) = 2 \left( \sin \frac{\pi}{6} + \sin \alpha \right)$. Далее применяем формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$. В нашем случае $x=\frac{\pi}{6}$ и $y=\alpha$. Получаем: $2 \left( 2 \sin \frac{\frac{\pi}{6} + \alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{6} - \alpha}{2} \right) = 4 \sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2} \right)$.
Ответ: $4 \sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2} \right)$.

б) Для преобразования выражения $1 - 2 \cos \alpha$ вынесем 2 за скобки и представим $\frac{1}{2}$ в виде косинуса угла: $1 - 2 \cos \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} - \cos \alpha \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} - \cos \alpha \right)$. Теперь применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$, где $x=\frac{\pi}{3}$ и $y=\alpha$. Получаем: $2 \cdot \left(-2 \sin \frac{\frac{\pi}{3} + \alpha}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{3} - \alpha}{2}\right) = -4 \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right) \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right)$.
Ответ: $-4 \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right) \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right)$.

в) Для преобразования выражения $\sqrt{3} - 2 \sin \alpha$ вынесем 2 за скобки и представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в виде синуса угла: $\sqrt{3} - 2 \sin \alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin \alpha \right) = 2 \left( \sin \frac{\pi}{3} - \sin \alpha \right)$. Теперь применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$, где $x=\frac{\pi}{3}$ и $y=\alpha$. Получаем: $2 \cdot \left(2 \sin \frac{\frac{\pi}{3} - \alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3} + \alpha}{2}\right) = 4 \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right)$.
Ответ: $4 \sin \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right)$.