Номер 9.38, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.4. Сумма и разность синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.38, страница 268.

9.38 Докажите справедливость равенства:

a) $ \sin 50^\circ + \sin 10^\circ - \cos 20^\circ = 0; $

б) $ \cos 48^\circ + \sin 18^\circ - \cos 12^\circ = 0. $

а) Для доказательства равенства $\sin 50^\circ + \sin 10^\circ - \cos 20^\circ = 0$ преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой суммы синусов для первых двух слагаемых:
$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
Применим эту формулу к выражению $\sin 50^\circ + \sin 10^\circ$:
$\sin 50^\circ + \sin 10^\circ = 2\sin\frac{50^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{50^\circ-10^\circ}{2} = 2\sin\frac{60^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ}{2} = 2\sin 30^\circ \cos 20^\circ$
Мы знаем, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в полученное выражение:
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ = \cos 20^\circ$
Теперь подставим результат обратно в исходное равенство:
$(\sin 50^\circ + \sin 10^\circ) - \cos 20^\circ = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 0$
Получили верное тождество $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $\cos 48^\circ + \sin 18^\circ - \cos 12^\circ = 0$ преобразуем левую часть. Сгруппируем слагаемые с косинусами и применим формулу разности косинусов:
$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
Преобразуем выражение $\cos 48^\circ - \cos 12^\circ$:
$\cos 48^\circ - \cos 12^\circ = -2\sin\frac{48^\circ+12^\circ}{2}\sin\frac{48^\circ-12^\circ}{2} = -2\sin\frac{60^\circ}{2}\sin\frac{36^\circ}{2} = -2\sin 30^\circ \sin 18^\circ$
Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = -\sin 18^\circ$
Теперь подставим полученный результат в исходное равенство, предварительно сгруппировав его:
$(\cos 48^\circ - \cos 12^\circ) + \sin 18^\circ = -\sin 18^\circ + \sin 18^\circ = 0$
Получили верное тождество $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.