Номер 9.45, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.45, страница 271.

9.45 Запишите формулы:

а) синуса двойного угла;

$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

б) косинуса двойного угла.

$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$

а) Формула синуса двойного угла выражает синус угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Эта формула является частным случаем формулы синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
Если в этой формуле положить $\beta = \alpha$, то мы получим формулу для синуса двойного угла:
$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Таким образом, формула имеет следующий вид:
$ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $
Ответ: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $

б) Формула косинуса двойного угла выражает косинус угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Эта формула выводится из формулы косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
Если положить $\beta = \alpha$, то получится основная форма формулы косинуса двойного угла:
$\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, можно получить еще две полезные формы этой формулы:
1. Выразим через косинус. Заменим $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$:
$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
2. Выразим через синус. Заменим $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$:
$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Все три формы широко используются в зависимости от решаемой задачи.
Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, или $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$, или $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.