Номер 9.47, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.47, страница 271.

9.47 Упростите выражение:

а) $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ;$

б) $4 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30';$

в) $5 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12};$

г) $4 \cos (-15^\circ) \sin (-15^\circ).$

а) Для упрощения выражения $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $.
В данном случае $\alpha = 15^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Значение синуса 30 градусов является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Рассмотрим выражение $4 \sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30'$.
Представим его в виде: $2 \cdot (2 \sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30')$.
Снова используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $, где $\alpha = 22^\circ30'$.
$2 \sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30' = \sin(2 \cdot 22^\circ30') = \sin(44^\circ60')$.
Так как $60' = 1^\circ$, то $44^\circ60' = 45^\circ$.
Таким образом, исходное выражение упрощается до $2 \cdot \sin(45^\circ)$.
Значение синуса 45 градусов: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вычисляем окончательный результат: $2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

в) Упростим выражение $5 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}$.
Вынесем множитель за скобки, чтобы применить формулу синуса двойного угла:
$5 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{5}{2} \cdot (2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12})$.
Применяем формулу $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $ для $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
$2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6})$.
Подставляем обратно в выражение: $\frac{5}{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{6})$.
Значение синуса $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует 30°): $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Окончательный расчет: $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$

г) Рассмотрим выражение $4 \cos(-15^\circ) \sin(-15^\circ)$.
Переставим множители и представим выражение в виде: $2 \cdot (2 \sin(-15^\circ) \cos(-15^\circ))$.
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $ при $\alpha = -15^\circ$.
$2 \sin(-15^\circ) \cos(-15^\circ) = \sin(2 \cdot (-15^\circ)) = \sin(-30^\circ)$.
Таким образом, исходное выражение равно $2 \cdot \sin(-30^\circ)$.
Поскольку синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Вычисляем результат: $2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$.
Ответ: $-1$