Номер 9.53, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.53, страница 271.

9.53* Существуют ли углы $\alpha$, для каждого из которых выполняется равенство $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha (-\pi \le \alpha \le \pi)$?

9.53* Для того чтобы выяснить, существуют ли такие углы $\alpha$, необходимо решить уравнение $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)$ на промежутке $-\pi \le \alpha \le \pi$.

Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\sin(\alpha)$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$2\sin(\alpha)\cos(\alpha) - 2\sin(\alpha) = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin(\alpha)$ за скобки:

$2\sin(\alpha)(\cos(\alpha) - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $\sin(\alpha) = 0$

2) $\cos(\alpha) - 1 = 0$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Решаем уравнение $\sin(\alpha) = 0$.

Общее решение этого уравнения: $\alpha = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те корни, которые принадлежат заданному промежутку $[-\pi, \pi]$:

• При $k = -1$, $\alpha = -\pi$. Это значение входит в промежуток.
• При $k = 0$, $\alpha = 0$. Это значение входит в промежуток.
• При $k = 1$, $\alpha = \pi$. Это значение входит в промежуток.

Другие целые значения $k$ дают углы за пределами указанного промежутка.

2) Решаем уравнение $\cos(\alpha) - 1 = 0$, что эквивалентно $\cos(\alpha) = 1$.

Общее решение этого уравнения: $\alpha = 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi, \pi]$:

• При $k = 0$, $\alpha = 0$. Это значение входит в промежуток.

Другие целые значения $k$ дают углы за пределами указанного промежутка.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, мы получаем множество всех углов $\alpha$ из промежутка $[-\pi, \pi]$, для которых выполняется исходное равенство: $\{-\pi, 0, \pi\}$.

Так как мы нашли конкретные значения $\alpha$, удовлетворяющие условию, то такие углы существуют.

Ответ: Да, существуют. Такими углами являются $\alpha = -\pi$, $\alpha = 0$ и $\alpha = \pi$.