Номер 9.59, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.59, страница 272.

9.59 Вычислите $\sin\frac{\alpha}{2}$, если:

а) $\cos \alpha = \frac{1}{3}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

б) $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

а)

Для вычисления $ \sin\frac{\alpha}{2} $ воспользуемся формулой понижения степени для синуса, также известной как формула половинного угла:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} $

Из этой формулы следует, что $ \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} $.

По условию дано, что $ \cos\alpha = \frac{1}{3} $. Подставим это значение в формулу:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3} $

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $ \sin\frac{\alpha}{2} $:

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3} $

Чтобы определить правильный знак, необходимо выяснить, в какой координатной четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. По условию $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Разделим все части этого двойного неравенства на 2:

$ \frac{0}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi/2}{2} $, что дает $ 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} $.

Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в первой четверти, а синус в первой четверти имеет положительное значение. Следовательно, мы выбираем знак «+».

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

б)

Мы снова используем формулу половинного угла для синуса:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} $

В этом случае нам не дан $ \cos\alpha $, но мы можем найти его, зная $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $ и промежуток для $ \alpha $. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Отсюда $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $. Подставим значение $ \sin\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} $

Следовательно, $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $.

По условию, угол $ \alpha $ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти косинус отрицателен, поэтому $ \cos\alpha = -\frac{4}{5} $.

Теперь мы можем подставить найденное значение $ \cos\alpha $ в формулу для $ \sin^2\frac{\alpha}{2} $:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10} $

Извлекаем квадратный корень:

$ \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{9}{10}} = \pm\frac{3}{\sqrt{10}} = \pm\frac{3\sqrt{10}}{10} $

Определим знак, найдя четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Из условия $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $ делением на 2 получаем:

$ \frac{\pi/2}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $, что дает $ \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $.

Этот интервал находится в первой координатной четверти, где синус положителен. Таким образом, мы выбираем знак «+».

Ответ: $ \frac{3\sqrt{10}}{10} $.