Номер 9.64, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.64, страница 272.

9.64* Вычислите:

а) $\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9};$

б) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}.$

а)

Обозначим искомое выражение через $P$:
$P = \cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}$

Для решения подобных задач, где аргументы косинусов образуют геометрическую прогрессию, удобно использовать формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Умножим и разделим наше выражение на $2\sin\frac{\pi}{9}$ (это возможно, так как $\sin\frac{\pi}{9} \neq 0$):
$P = \frac{2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}}$

В числителе $2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{2\pi}{9}$. Подставим это обратно:
$P = \frac{\sin\frac{2\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}}$

Снова видим в числителе выражение вида $\sin\beta\cos\beta$. Повторим тот же прием: умножим и разделим числитель на 2.
$P = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{2\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{4\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}}$

И еще раз:
$P = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{4\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{8\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$:
$\sin\frac{8\pi}{9} = \sin(\pi - \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{\pi}{9}$

Подставим полученное значение в выражение для $P$:
$P = \frac{\sin\frac{\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

б)

Обозначим искомое выражение через $Q$:
$Q = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}$

Действуем аналогично пункту а), последовательно применяя формулу синуса двойного угла. Умножим и разделим выражение на $2\sin\frac{\pi}{7}$ (так как $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$):
$Q = \frac{2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{2\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}}$

Повторим операцию:
$Q = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{2\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}}$

И еще раз:
$Q = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{8\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$:
$\sin\frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin\frac{\pi}{7}$

Подставим полученное значение в выражение для $Q$:
$Q = \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$