Номер 9.61, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.61, страница 272.

9.61 Упростите выражение:

a) $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha;$

б) $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos \alpha;$

в) $4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \alpha + 3;$

г) $4 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \cos \alpha + 3.$

а) Для упрощения выражения $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos \alpha = 1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$. Из нее следует, что $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha$.
Подставим это выражение в исходное:
$2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha = (1 - \cos \alpha) + \cos \alpha = 1 - \cos \alpha + \cos \alpha = 1$.
Ответ: 1.

б) Для упрощения выражения $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos \alpha$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса. Она также является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1$. Отсюда получаем $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1 + \cos \alpha$.
Подставим это выражение в исходное:
$2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos \alpha = (1 + \cos \alpha) - \cos \alpha = 1 + \cos \alpha - \cos \alpha = 1$.
Ответ: 1.

в) Упростим выражение $4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \alpha + 3$.
Используем ту же формулу, что и в пункте а): $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha$. Тогда $4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 2 \cdot (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 2(1 - \cos \alpha) = 2 - 2 \cos \alpha$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$(2 - 2 \cos \alpha) + 2 \cos \alpha + 3 = 2 - 2 \cos \alpha + 2 \cos \alpha + 3 = 5$.
Ответ: 5.

г) Упростим выражение $4 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \cos \alpha + 3$.
Используем формулу из пункта б): $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1 + \cos \alpha$. Тогда $4 \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 2 \cdot (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 2(1 + \cos \alpha) = 2 + 2 \cos \alpha$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$(2 + 2 \cos \alpha) - 2 \cos \alpha + 3 = 2 + 2 \cos \alpha - 2 \cos \alpha + 3 = 5$.
Ответ: 5.