Номер 9.55, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.55, страница 271.

9.55 Упростите выражение:

a) $ \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha; $

б) $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha; $

в) $ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 + \sin 2\alpha} $ $(\alpha \ne -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z});$

г) $ \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} $ $(\alpha \ne \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z});$

д) $ 2 \cos^2 \alpha - \cos 2\alpha; $

е) $ \cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha. $

а) Для упрощения выражения $ \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha $ воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, из которой следует, что $ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $.
Применим эту формулу к произведению $ \sin \alpha \cos \alpha $: $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha $.
Подставим полученное выражение обратно: $ (\frac{1}{2} \sin 2\alpha) \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cos 2\alpha $.
Снова применим формулу синуса двойного угла, но уже для аргумента $ 2\alpha $: $ \sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2} \sin 4\alpha $.
Тогда все выражение равно: $ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin 4\alpha \right) = \frac{1}{4} \sin 4\alpha $.
Ответ: $ \frac{1}{4} \sin 4\alpha $.

б) Выражение $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha $ представляет собой разность квадратов $ (\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2 $.
Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $: $ (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $.
Используем две основные тригонометрические формулы:
1. Основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $.
2. Формула косинуса двойного угла: $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
Подставляя эти тождества в разложенное выражение, получаем: $ (\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha $.
Ответ: $ \cos 2\alpha $.

в) Рассмотрим выражение $ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 + \sin 2\alpha} $.
Раскроем квадрат суммы в числителе: $ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha $.
Сгруппируем слагаемые: $ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha $.
Используя тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, получаем, что числитель равен $ 1 + \sin 2\alpha $.
Теперь подставим это в исходную дробь: $ \frac{1 + \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} $.
Условие $ \alpha \neq -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ гарантирует, что знаменатель $ 1 + \sin 2\alpha \neq 0 $, поэтому дробь можно сократить.
В результате сокращения получаем 1.
Ответ: $ 1 $.

г) Рассмотрим выражение $ \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} $.
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. Подставим её в числитель: $ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} $.
Числитель является разностью квадратов, разложим его на множители: $ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha - \cos \alpha} $.
Заметим, что $ \cos \alpha - \sin \alpha = -(\sin \alpha - \cos \alpha) $. Перепишем выражение: $ \frac{-(\sin \alpha - \cos \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha - \cos \alpha} $.
Условие $ \alpha \neq \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ гарантирует, что знаменатель $ \sin \alpha - \cos \alpha \neq 0 $, поэтому можно сократить на $ (\sin \alpha - \cos \alpha) $.
После сокращения остаётся: $ -(\cos \alpha + \sin \alpha) $.
Ответ: $ -(\sin \alpha + \cos \alpha) $.

д) В выражении $ 2 \cos^2 \alpha - \cos 2\alpha $ используем формулу косинуса двойного угла, которая связывает $ \cos 2\alpha $ и $ \cos^2 \alpha $: $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 $.
Подставим эту формулу в выражение: $ 2 \cos^2 \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1) $.
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $ 2 \cos^2 \alpha - 2 \cos^2 \alpha + 1 = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

е) В выражении $ \cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha $ используем формулу косинуса двойного угла, которая связывает $ \cos 2\alpha $ и $ \sin^2 \alpha $: $ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha $.
Подставим эту формулу в выражение: $ (1 - 2 \sin^2 \alpha) + 2 \sin^2 \alpha $.
Приведём подобные слагаемые: $ 1 - 2 \sin^2 \alpha + 2 \sin^2 \alpha = 1 $.
Ответ: $ 1 $.