Номер 9.54, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.54, страница 271.

9.54 Вычислите:

а) $1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8};$

б) $2 \cos^2 \frac{\pi}{12} - 1.$

а) Для вычисления значения выражения $1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

В данном случае, угол $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Подставим значение $\alpha$ в формулу:

$1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{2\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.

Значение косинуса угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, $1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) Для вычисления значения выражения $2 \cos^2 \frac{\pi}{12} - 1$ также воспользуемся формулой косинуса двойного угла, но в другом виде: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Здесь угол $\alpha = \frac{\pi}{12}$.

Применяя формулу, получаем:

$2 \cos^2 \frac{\pi}{12} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{2\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.

Значение косинуса угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $2 \cos^2 \frac{\pi}{12} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$