Номер 9.52, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.5. Формулы для двойных и половинных углов - номер 9.52, страница 271.

Условие.

9.52 Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то что больше:

a) $\sin 2\alpha$ или $2 \sin \alpha$;

б) $\cos 2\alpha$ или $2 \cos \alpha$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) Сравним $\sin 2\alpha$ и $2 \sin \alpha$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Теперь нам нужно сравнить выражения $2 \sin \alpha \cos \alpha$ и $2 \sin \alpha$.

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то есть в первой координатной четверти. Для любого угла из этого интервала значение синуса положительно: $\sin \alpha > 0$.

Так как $2 \sin \alpha$ является положительным числом, мы можем разделить обе части нашего сравнения на это число, при этом знак неравенства не изменится. Таким образом, сравнение сводится к сравнению $\cos \alpha$ и $1$.

Для любого угла $\alpha$ из интервала $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ значение косинуса строго меньше 1, то есть $\cos \alpha < 1$.

Из этого следует, что $2 \sin \alpha \cos \alpha < 2 \sin \alpha$, а значит $\sin 2\alpha < 2 \sin \alpha$.

Следовательно, выражение $2 \sin \alpha$ больше, чем $\sin 2\alpha$.

Ответ: $2 \sin \alpha$.

б) Сравним $\cos 2\alpha$ и $2 \cos \alpha$.

Чтобы определить, какое из выражений больше, рассмотрим их разность: $2 \cos \alpha - \cos 2\alpha$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла в виде $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$.

Подставим эту формулу в нашу разность и преобразуем выражение:

$2 \cos \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1) = -2 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1$.

Чтобы определить знак полученного выражения, сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos \alpha$. Так как по условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то для косинуса выполняется неравенство $0 < \cos \alpha < 1$. Следовательно, $0 < t < 1$.

Теперь нам нужно исследовать знак квадратичной функции $f(t) = -2t^2 + 2t + 1$ на интервале $(0, 1)$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $t^2$ отрицателен (равен -2).

Найдем корни квадратного уравнения $-2t^2 + 2t + 1 = 0$, чтобы определить, где функция положительна, а где отрицательна.

Дискриминант $D = 2^2 - 4(-2)(1) = 4 + 8 = 12$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2(-2)} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{-4} = \frac{1 \mp \sqrt{3}}{2}$.

Получаем два корня: $t_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \approx -0.366$ и $t_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx 1.366$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция $f(t)$ принимает положительные значения между своими корнями. Интервал наших значений $t \in (0, 1)$ целиком лежит между корнями $t_1$ и $t_2$.

Следовательно, для любого $t$ из интервала $(0, 1)$ функция $f(t)$ положительна: $f(t) > 0$.

Это означает, что разность $2 \cos \alpha - \cos 2\alpha$ также всегда положительна для заданного диапазона $\alpha$.

Таким образом, $2 \cos \alpha > \cos 2\alpha$.

Ответ: $2 \cos \alpha$.