Номер 9.52, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.52, страница 271.
№9.52 (с. 271)
Условие. №9.52 (с. 271)
скриншот условия

9.52 Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то что больше:
a) $\sin 2\alpha$ или $2 \sin \alpha$;
б) $\cos 2\alpha$ или $2 \cos \alpha$?
Решение 1. №9.52 (с. 271)


Решение 2. №9.52 (с. 271)

Решение 3. №9.52 (с. 271)

Решение 4. №9.52 (с. 271)

Решение 5. №9.52 (с. 271)
a) Сравним $\sin 2\alpha$ и $2 \sin \alpha$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Теперь нам нужно сравнить выражения $2 \sin \alpha \cos \alpha$ и $2 \sin \alpha$.
По условию задачи, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то есть в первой координатной четверти. Для любого угла из этого интервала значение синуса положительно: $\sin \alpha > 0$.
Так как $2 \sin \alpha$ является положительным числом, мы можем разделить обе части нашего сравнения на это число, при этом знак неравенства не изменится. Таким образом, сравнение сводится к сравнению $\cos \alpha$ и $1$.
Для любого угла $\alpha$ из интервала $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ значение косинуса строго меньше 1, то есть $\cos \alpha < 1$.
Из этого следует, что $2 \sin \alpha \cos \alpha < 2 \sin \alpha$, а значит $\sin 2\alpha < 2 \sin \alpha$.
Следовательно, выражение $2 \sin \alpha$ больше, чем $\sin 2\alpha$.
Ответ: $2 \sin \alpha$.
б) Сравним $\cos 2\alpha$ и $2 \cos \alpha$.
Чтобы определить, какое из выражений больше, рассмотрим их разность: $2 \cos \alpha - \cos 2\alpha$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла в виде $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$.
Подставим эту формулу в нашу разность и преобразуем выражение:
$2 \cos \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1) = -2 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1$.
Чтобы определить знак полученного выражения, сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos \alpha$. Так как по условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то для косинуса выполняется неравенство $0 < \cos \alpha < 1$. Следовательно, $0 < t < 1$.
Теперь нам нужно исследовать знак квадратичной функции $f(t) = -2t^2 + 2t + 1$ на интервале $(0, 1)$.
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $t^2$ отрицателен (равен -2).
Найдем корни квадратного уравнения $-2t^2 + 2t + 1 = 0$, чтобы определить, где функция положительна, а где отрицательна.
Дискриминант $D = 2^2 - 4(-2)(1) = 4 + 8 = 12$.
Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2(-2)} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{-4} = \frac{1 \mp \sqrt{3}}{2}$.
Получаем два корня: $t_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \approx -0.366$ и $t_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx 1.366$.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция $f(t)$ принимает положительные значения между своими корнями. Интервал наших значений $t \in (0, 1)$ целиком лежит между корнями $t_1$ и $t_2$.
Следовательно, для любого $t$ из интервала $(0, 1)$ функция $f(t)$ положительна: $f(t) > 0$.
Это означает, что разность $2 \cos \alpha - \cos 2\alpha$ также всегда положительна для заданного диапазона $\alpha$.
Таким образом, $2 \cos \alpha > \cos 2\alpha$.
Ответ: $2 \cos \alpha$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 9.52 расположенного на странице 271 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.52 (с. 271), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.