Номер 9.49, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.49, страница 271.

Упростите выражение (9.49–9.50):

9.49

а) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$;

б) $\sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ$;

в) $\cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ$;

г) $(\sin \alpha + \cos \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha)$.

а) Для упрощения выражения $ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
В данном выражении $ \alpha = 15^\circ $.
Подставляем значение в формулу:
$ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ) $.
Значение $ \cos(30^\circ) $ является стандартным тригонометрическим значением: $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

б) Выражение $ \sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ $ можно преобразовать, вынеся минус за скобки:
$ \sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ = -(\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ) $.
Выражение в скобках, как и в предыдущем пункте, соответствует формуле косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $, где $ \alpha = 15^\circ $.
Следовательно:
$ -(\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ) = -\cos(2 \cdot 15^\circ) = -\cos(30^\circ) $.
Так как $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то результат равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

в) Для упрощения выражения $ \cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ $ также применяется формула косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
В этом случае $ \alpha = 20^\circ $.
Применяем формулу:
$ \cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ = \cos(2 \cdot 20^\circ) = \cos(40^\circ) $.
Это выражение не упрощается до конкретного числового значения без калькулятора, поэтому оставляем его в таком виде.
Ответ: $ \cos(40^\circ) $.

г) Выражение $ (\sin \alpha + \cos \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha) $ представляет собой произведение суммы и разности двух чисел. Можно поменять слагаемые в первой скобке местами, чтобы получить более привычный вид: $ (\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha) $.
Теперь воспользуемся формулой разности квадратов: $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.
В нашем случае $ a = \cos \alpha $ и $ b = \sin \alpha $.
Получаем:
$ (\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла: $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha) $.
Ответ: $ \cos(2\alpha) $.