Номер 9.51, страница 271 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.51, страница 271.

9.51 Выразите $ \cos 2\alpha $ только через:

а) $ \sin \alpha $, если $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

б) $ \sin \alpha $, если $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

в) $ \cos \alpha $, если $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

г) $ \cos \alpha $, если $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

а) sin α, если 0 < α < π/2

Для того чтобы выразить $cos(2α)$ только через $sin(α)$, используется одна из формул косинуса двойного угла:$cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)$.Из основного тригонометрического тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$ следует, что $cos^2(α) = 1 - sin^2(α)$.Подставим это выражение в формулу для $cos(2α)$:$cos(2α) = (1 - sin^2(α)) - sin^2(α) = 1 - 2sin^2(α)$.Эта формула является тождеством и справедлива для любого угла $α$. Условие $0 < α < \frac{\pi}{2}$ не влияет на конечный вид выражения.

Ответ: $cos(2α) = 1 - 2sin^2(α)$.

б) sin α, если π/2 < α < π

Задача аналогична предыдущему пункту. Требуется выразить $cos(2α)$ через $sin(α)$. Используемая формула $cos(2α) = 1 - 2sin^2(α)$ является тождеством, то есть она верна для любого значения угла $α$.Условие, что угол $α$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < α < \pi $), не изменяет эту формулу.

Ответ: $cos(2α) = 1 - 2sin^2(α)$.

в) cos α, если 0 < α < π/2

Чтобы выразить $cos(2α)$ только через $cos(α)$, мы снова используем формулу косинуса двойного угла $cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)$.Из основного тригонометрического тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$ выразим $sin^2(α) = 1 - cos^2(α)$.Подставим это выражение в формулу для $cos(2α)$:$cos(2α) = cos^2(α) - (1 - cos^2(α)) = cos^2(α) - 1 + cos^2(α) = 2cos^2(α) - 1$.Эта формула также является тождеством и верна для любого угла $α$. Условие $0 < α < \frac{\pi}{2}$ не влияет на результат.

Ответ: $cos(2α) = 2cos^2(α) - 1$.

г) cos α, если π/2 < α < π

Как и в пункте в), мы используем тождество $cos(2α) = 2cos^2(α) - 1$. Оно справедливо для любого значения угла $α$.Условие, что угол $α$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < α < \pi $), не влияет на вид этой формулы.

Ответ: $cos(2α) = 2cos^2(α) - 1$.