Номер 9.42, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.4. Сумма и разность синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.42, страница 268.

9.42* Докажите справедливость равенства:

a) $ \sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ; $

б) $ \cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ; $

в) $ \sin 87^\circ - \sin 93^\circ - \sin 59^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ. $

а) Докажем справедливость равенства $\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ$.

Для этого преобразуем левую часть равенства, применив формулу суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

Подставим наши значения $\alpha = 35^\circ$ и $\beta = 25^\circ$:

$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\frac{35^\circ + 25^\circ}{2} \cos\frac{35^\circ - 25^\circ}{2} = 2 \sin\frac{60^\circ}{2} \cos\frac{10^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos 5^\circ$.

Зная, что значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ$.

Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\cos 5^\circ = \cos 5^\circ$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.

б) Докажем справедливость равенства $\cos 20^\circ - \sin 50^\circ = \sin 10^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства. С помощью формулы приведения $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$ заменим косинус на синус:

$\cos 20^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \sin 70^\circ$.

Теперь исходное выражение в левой части примет вид:

$\sin 70^\circ - \sin 50^\circ$.

Применим формулу разности синусов:

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin 70^\circ - \sin 50^\circ = 2 \cos\frac{70^\circ + 50^\circ}{2} \sin\frac{70^\circ - 50^\circ}{2} = 2 \cos\frac{120^\circ}{2} \sin\frac{20^\circ}{2} = 2 \cos 60^\circ \sin 10^\circ$.

Зная, что значение $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 10^\circ = \sin 10^\circ$.

Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\sin 10^\circ = \sin 10^\circ$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.

в) Докажем справедливость равенства $\sin 87^\circ - \sin 93^\circ - \sin 59^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$.

Преобразуем левую часть, сгруппировав слагаемые следующим образом:

$(\sin 87^\circ - \sin 93^\circ) + (\sin 61^\circ - \sin 59^\circ)$.

Рассмотрим первую группу $(\sin 87^\circ - \sin 93^\circ)$. Используем формулы приведения:

$\sin 87^\circ = \sin(90^\circ - 3^\circ) = \cos 3^\circ$.

$\sin 93^\circ = \sin(90^\circ + 3^\circ) = \cos 3^\circ$.

Тогда разность равна: $\sin 87^\circ - \sin 93^\circ = \cos 3^\circ - \cos 3^\circ = 0$.

Теперь рассмотрим вторую группу $(\sin 61^\circ - \sin 59^\circ)$. Применим формулу разности синусов:

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin 61^\circ - \sin 59^\circ = 2 \cos\frac{61^\circ + 59^\circ}{2} \sin\frac{61^\circ - 59^\circ}{2} = 2 \cos\frac{120^\circ}{2} \sin\frac{2^\circ}{2} = 2 \cos 60^\circ \sin 1^\circ$.

Так как $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 1^\circ = \sin 1^\circ$.

Сложим результаты преобразования обеих групп:

$0 + \sin 1^\circ = \sin 1^\circ$.

Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\sin 1^\circ = \sin 1^\circ$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.