Номер 9.39, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.4. Сумма и разность синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.39, страница 268.

9.39 Вычислите:

а) $cos \frac{5\pi}{12} + cos \frac{\pi}{12}$;

б) $cos \frac{7\pi}{12} - cos \frac{\pi}{12}$;

в) $sin \frac{5\pi}{12} + sin \frac{\pi}{12}$;

г) $sin \frac{7\pi}{12} - sin \frac{\pi}{12}$.

а)

Для вычисления суммы косинусов $\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.

Найдем полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$

Подставим полученные значения в формулу:

$\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} = 2 \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}$

Используем табличные значения косинусов: $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

б)

Для вычисления разности косинусов $\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования разности косинусов в произведение:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

В данном случае $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.

Найдем полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{8\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставим значения в формулу:

$\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} = -2 \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

Используем табличные значения синусов: $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}$

в)

Для вычисления суммы синусов $\sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования суммы синусов в произведение:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$

Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$. Полусумма и полуразность углов уже были найдены в пункте а):

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{4}$ и $\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\pi}{6}$

Подставим эти значения в формулу:

$\sin \frac{5\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}$

Используем табличные значения: $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

г)

Для вычисления разности синусов $\sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение:

$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

Здесь $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$. Полусумма и полуразность углов были найдены в пункте б):

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{3}$ и $\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставим эти значения в формулу:

$\sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} = 2 \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

Используем табличные значения: $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$