Номер 9.37, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.4. Сумма и разность синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.37, страница 268.

9.37 a) $cos 40^\circ + cos 30^\circ + cos 20^\circ + cos 10^\circ;$

б) $sin 5^\circ + sin 10^\circ + sin 15^\circ + sin 20^\circ.$

а) $ \cos 40^\circ + \cos 30^\circ + \cos 20^\circ + \cos 10^\circ $

Для решения этой задачи представим сумму в виде произведения. Для этого сгруппируем слагаемые: $(\cos 40^\circ + \cos 10^\circ) + (\cos 30^\circ + \cos 20^\circ)$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Преобразуем первую группу:

$ \cos 40^\circ + \cos 10^\circ = 2 \cos \frac{40^\circ+10^\circ}{2} \cos \frac{40^\circ-10^\circ}{2} = 2 \cos 25^\circ \cos 15^\circ $.

Преобразуем вторую группу:

$ \cos 30^\circ + \cos 20^\circ = 2 \cos \frac{30^\circ+20^\circ}{2} \cos \frac{30^\circ-20^\circ}{2} = 2 \cos 25^\circ \cos 5^\circ $.

Теперь подставим полученные выражения в исходную сумму:

$ 2 \cos 25^\circ \cos 15^\circ + 2 \cos 25^\circ \cos 5^\circ $.

Вынесем общий множитель $ 2 \cos 25^\circ $ за скобки:

$ 2 \cos 25^\circ (\cos 15^\circ + \cos 5^\circ) $.

Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$ \cos 15^\circ + \cos 5^\circ = 2 \cos \frac{15^\circ+5^\circ}{2} \cos \frac{15^\circ-5^\circ}{2} = 2 \cos 10^\circ \cos 5^\circ $.

Подставим результат обратно и получим окончательный ответ:

$ 2 \cos 25^\circ \cdot (2 \cos 10^\circ \cos 5^\circ) = 4 \cos 5^\circ \cos 10^\circ \cos 25^\circ $.

Ответ: $ 4 \cos 5^\circ \cos 10^\circ \cos 25^\circ $.

б) $ \sin 5^\circ + \sin 10^\circ + \sin 15^\circ + \sin 20^\circ $

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(\sin 20^\circ + \sin 5^\circ) + (\sin 15^\circ + \sin 10^\circ)$.

Воспользуемся формулой суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Преобразуем первую группу:

$ \sin 20^\circ + \sin 5^\circ = 2 \sin \frac{20^\circ+5^\circ}{2} \cos \frac{20^\circ-5^\circ}{2} = 2 \sin 12.5^\circ \cos 7.5^\circ $.

Преобразуем вторую группу:

$ \sin 15^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin \frac{15^\circ+10^\circ}{2} \cos \frac{15^\circ-10^\circ}{2} = 2 \sin 12.5^\circ \cos 2.5^\circ $.

Подставим полученные выражения в исходную сумму:

$ 2 \sin 12.5^\circ \cos 7.5^\circ + 2 \sin 12.5^\circ \cos 2.5^\circ $.

Вынесем общий множитель $ 2 \sin 12.5^\circ $ за скобки:

$ 2 \sin 12.5^\circ (\cos 7.5^\circ + \cos 2.5^\circ) $.

Теперь к выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \cos 7.5^\circ + \cos 2.5^\circ = 2 \cos \frac{7.5^\circ+2.5^\circ}{2} \cos \frac{7.5^\circ-2.5^\circ}{2} = 2 \cos 5^\circ \cos 2.5^\circ $.

Подставим результат обратно и получим окончательный ответ:

$ 2 \sin 12.5^\circ \cdot (2 \cos 5^\circ \cos 2.5^\circ) = 4 \cos 2.5^\circ \cos 5^\circ \sin 12.5^\circ $.

Ответ: $ 4 \cos 2.5^\circ \cos 5^\circ \sin 12.5^\circ $.