Номер 9.41, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.4. Сумма и разность синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.41, страница 268.

9.41* Вычислите:

а) $ \cos 75^\circ \cdot \cos 105^\circ; $

б) $ \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ; $

в) $ \cos \frac{75^\circ}{2} \cdot \cos \frac{15^\circ}{2}; $

г) $ \sin 105^\circ \cdot \cos 15^\circ. $

а) Для вычисления произведения косинусов воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $ \cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.
Подставим значения $ \alpha = 105^\circ $ и $ \beta = 75^\circ $:
$ \cos 75^\circ \cdot \cos 105^\circ = \frac{1}{2}(\cos(105^\circ + 75^\circ) + \cos(105^\circ - 75^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(180^\circ) + \cos(30^\circ)) $.
Подставляем табличные значения $ \cos 180^\circ = -1 $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $:
$ \frac{1}{2}\left(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3} - 2}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} - 2}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3} - 2}{4} $.

б) Для вычисления произведения синусов используем формулу преобразования произведения в сумму: $ \sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.
Подставим $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $:
$ \sin 75^\circ \cdot \sin 15^\circ = \frac{1}{2}(\cos(75^\circ - 15^\circ) - \cos(75^\circ + 15^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos 90^\circ) $.
Подставляем табличные значения $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $ и $ \cos 90^\circ = 0 $:
$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - 0\right) = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

в) Снова используем формулу произведения косинусов: $ \cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.
В данном случае $ \alpha = \frac{75^\circ}{2} $ и $ \beta = \frac{15^\circ}{2} $:
$ \cos \frac{75^\circ}{2} \cdot \cos \frac{15^\circ}{2} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{75^\circ}{2} + \frac{15^\circ}{2}\right) + \cos\left(\frac{75^\circ}{2} - \frac{15^\circ}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{90^\circ}{2} + \cos\frac{60^\circ}{2}\right) $.
Упрощаем выражение:
$ \frac{1}{2}(\cos 45^\circ + \cos 30^\circ) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} $.

г) Для вычисления произведения синуса на косинус применяем формулу: $ \sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.
Подставим значения $ \alpha = 105^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $:
$ \sin 105^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{1}{2}(\sin(105^\circ + 15^\circ) + \sin(105^\circ - 15^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 120^\circ + \sin 90^\circ) $.
Используем формулу приведения $ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и табличное значение $ \sin 90^\circ = 1 $:
$ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3} + 2}{2}\right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{2 + \sqrt{3}}{4} $.