Номер 9.40, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.4. Сумма и разность синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.40, страница 268.

9.40 Докажите справедливость равенства:

a) $\cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{7\pi}{12} = 0;$

б) $\sin \frac{3\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{5} = 0;$

в) $\cos \frac{9\pi}{14} + \cos \frac{5\pi}{14} = 0;$

г) $\sin \frac{3\pi}{10} - \sin \frac{7\pi}{10} = 0.$

а) Для доказательства воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.
Применим эту формулу к левой части равенства:
$ \cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{7\pi}{12} = 2 \cos\frac{\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12}}{2} \cos\frac{\frac{5\pi}{12} - \frac{7\pi}{12}}{2} = 2 \cos\frac{\frac{12\pi}{12}}{2} \cos\frac{-\frac{2\pi}{12}}{2} = 2 \cos\frac{\pi}{2} \cos(-\frac{\pi}{12}) $.
Поскольку $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $, то всё произведение равно нулю:
$ 2 \cdot 0 \cdot \cos(-\frac{\pi}{12}) = 0 $.
Таким образом, равенство $ \cos\frac{5\pi}{12} + \cos\frac{7\pi}{12} = 0 $ справедливо.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: $ \sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2} $.
Применим эту формулу к левой части равенства:
$ \sin\frac{3\pi}{5} - \sin\frac{2\pi}{5} = 2 \sin\frac{\frac{3\pi}{5} - \frac{2\pi}{5}}{2} \cos\frac{\frac{3\pi}{5} + \frac{2\pi}{5}}{2} = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{5}}{2} \cos\frac{\frac{5\pi}{5}}{2} = 2 \sin\frac{\pi}{10} \cos\frac{\pi}{2} $.
Поскольку $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $, то всё произведение равно нулю:
$ 2 \sin\frac{\pi}{10} \cdot 0 = 0 $.
Таким образом, равенство $ \sin\frac{3\pi}{5} - \sin\frac{2\pi}{5} = 0 $ справедливо. В качестве альтернативного доказательства можно использовать формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $. Заметив, что $ \frac{3\pi}{5} = \pi - \frac{2\pi}{5} $, получаем $ \sin\frac{3\pi}{5} = \sin(\pi - \frac{2\pi}{5}) = \sin\frac{2\pi}{5} $. Тогда исходное выражение превращается в $ \sin\frac{2\pi}{5} - \sin\frac{2\pi}{5} = 0 $.
Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение: $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.
Применим эту формулу к левой части равенства:
$ \cos\frac{9\pi}{14} + \cos\frac{5\pi}{14} = 2 \cos\frac{\frac{9\pi}{14} + \frac{5\pi}{14}}{2} \cos\frac{\frac{9\pi}{14} - \frac{5\pi}{14}}{2} = 2 \cos\frac{\frac{14\pi}{14}}{2} \cos\frac{\frac{4\pi}{14}}{2} = 2 \cos\frac{\pi}{2} \cos\frac{2\pi}{14} = 2 \cos\frac{\pi}{2} \cos\frac{\pi}{7} $.
Поскольку $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $, то всё произведение равно нулю:
$ 2 \cdot 0 \cdot \cos\frac{\pi}{7} = 0 $.
Таким образом, равенство $ \cos\frac{9\pi}{14} + \cos\frac{5\pi}{14} = 0 $ справедливо.
Ответ: Равенство доказано.

г) Для доказательства воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: $ \sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2} $.
Применим эту формулу к левой части равенства:
$ \sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{7\pi}{10} = 2 \sin\frac{\frac{3\pi}{10} - \frac{7\pi}{10}}{2} \cos\frac{\frac{3\pi}{10} + \frac{7\pi}{10}}{2} = 2 \sin\frac{-\frac{4\pi}{10}}{2} \cos\frac{\frac{10\pi}{10}}{2} = 2 \sin(-\frac{2\pi}{10}) \cos\frac{\pi}{2} = 2 \sin(-\frac{\pi}{5}) \cos\frac{\pi}{2} $.
Поскольку $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $, то всё произведение равно нулю:
$ 2 \sin(-\frac{\pi}{5}) \cdot 0 = 0 $.
Таким образом, равенство $ \sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{7\pi}{10} = 0 $ справедливо. В качестве альтернативного доказательства можно использовать формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $. Заметив, что $ \frac{7\pi}{10} = \pi - \frac{3\pi}{10} $, получаем $ \sin\frac{7\pi}{10} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{10}) = \sin\frac{3\pi}{10} $. Тогда исходное выражение превращается в $ \sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{3\pi}{10} = 0 $.
Ответ: Равенство доказано.