Номер 9.60, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.60, страница 272.

9.60 Вычислите $\cos \frac{\alpha}{2}$, если:

a) $\sin \alpha = -\frac{1}{3}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

а) Для вычисления $cos\frac{\alpha}{2}$ используется формула половинного угла: $cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$, из которой следует, что $cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$.
Первым шагом найдем значение $\cos\alpha$. Нам дано, что $\sin\alpha = -\frac{1}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Этот интервал для угла $\alpha$ соответствует третьей координатной четверти, в которой значения косинуса отрицательны.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, найдем $\cos^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
Поскольку $\alpha$ находится в третьей четверти, $\cos\alpha$ отрицателен, поэтому $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Далее определим знак $cos\frac{\alpha}{2}$. Из условия $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ путем деления на 2 получаем интервал для $\frac{\alpha}{2}$: $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$.
Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Значит, $cos\frac{\alpha}{2}$ будет иметь отрицательный знак.
Теперь подставим найденное значение $\cos\alpha$ в формулу для $cos\frac{\alpha}{2}$: $cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{2\sqrt{2}}{3})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}}{2}} = -\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}}$.
Ответ: $-\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}}$.

б) Мы снова используем формулу половинного угла: $cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$.
В этом случае нам дано, что $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.
Сначала определим знак $cos\frac{\alpha}{2}$. Из условия $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ следует, что $\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$. Этот интервал для $\frac{\alpha}{2}$ соответствует первой координатной четверти, где косинус положителен. Следовательно, мы выберем знак "плюс".
Теперь вычислим значение $cos\frac{\alpha}{2}$, подставив известное значение $\cos\alpha$: $cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{13-12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{26}}$.
Для удобства можно рационализировать знаменатель: $\sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{1 \cdot \sqrt{26}}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{26}$.