Страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.31 Вычислите:

a) $\sin (\alpha + \beta)$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$, $\cos \beta = \frac{1}{3}$;

б) $\sin (\alpha - \beta)$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ и $\cos \alpha = -0,2$, $\cos \beta = -0,1$.

а)

Для вычисления $ \sin(\alpha + \beta) $ воспользуемся формулой синуса суммы:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

По условию дано: $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $, $ \cos \beta = \frac{1}{3} $. Углы $ \alpha $ и $ \beta $ находятся в первой четверти ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $). В первой четверти значения синуса и косинуса положительны.

1. Найдем $ \cos \alpha $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.
Поскольку $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \cos \alpha > 0 $, следовательно, $ \cos \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

2. Найдем $ \sin \beta $, используя то же тождество $ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $:
$ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.
Поскольку $ \beta $ находится в первой четверти, $ \sin \beta > 0 $, следовательно, $ \sin \beta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

3. Подставим все найденные значения в формулу синуса суммы:
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{1 + 2\sqrt{6}}{6} $.

Ответ: $ \frac{1 + 2\sqrt{6}}{6} $

б)

Для вычисления $ \sin(\alpha - \beta) $ воспользуемся формулой синуса разности:
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.

По условию дано: $ \cos \alpha = -0.2 $, $ \cos \beta = -0.1 $. Угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $), а угол $ \beta $ — в третьей четверти ($ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $).
- Для $ \alpha $ во второй четверти: $ \sin \alpha > 0 $, $ \cos \alpha < 0 $.
- Для $ \beta $ в третьей четверти: $ \sin \beta < 0 $, $ \cos \beta < 0 $.

1. Найдем $ \sin \alpha $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-0.2)^2 = 1 - 0.04 = 0.96 $.
Поскольку $ \alpha $ находится во второй четверти, $ \sin \alpha > 0 $, следовательно, $ \sin \alpha = \sqrt{0.96} = \sqrt{\frac{96}{100}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \frac{4\sqrt{6}}{10} = \frac{2\sqrt{6}}{5} $.

2. Найдем $ \sin \beta $, используя то же тождество $ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $:
$ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (-0.1)^2 = 1 - 0.01 = 0.99 $.
Поскольку $ \beta $ находится в третьей четверти, $ \sin \beta < 0 $, следовательно, $ \sin \beta = -\sqrt{0.99} = -\sqrt{\frac{99}{100}} = -\frac{\sqrt{9 \cdot 11}}{10} = -\frac{3\sqrt{11}}{10} $.

3. Подставим все найденные значения в формулу синуса разности. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $ \cos \alpha = -0.2 = -\frac{1}{5} $, $ \cos \beta = -0.1 = -\frac{1}{10} $.
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) \cdot \left(-\frac{1}{10}\right) - \left(-\frac{1}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3\sqrt{11}}{10}\right) $.
$ \sin(\alpha - \beta) = -\frac{2\sqrt{6}}{50} - \frac{3\sqrt{11}}{50} = -\frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{11}}{50} $.

Ответ: $ -\frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{11}}{50} $

9.32 Докажите справедливость равенства:

а) $\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta$;

б) $\sin(\alpha - \beta) \sin(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$.

а)

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности двух углов:

$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:

$sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta) = (sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) + (sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Члены $-\cos\alpha \sin\beta$ и $+\cos\alpha \sin\beta$ взаимно уничтожаются.

$sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta + sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = sin\alpha \cos\beta + sin\alpha \cos\beta = 2\sin\alpha \cos\beta$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta$ справедливо.

б)

Для доказательства этого равенства также используем формулы синуса суммы и разности. Преобразуем левую часть равенства:

$sin(\alpha - \beta) sin(\alpha + \beta) = (sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta)(sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)$

Мы получили произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов по формуле $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = sin\alpha \cos\beta$ и $b = \cos\alpha \sin\beta$.

$(sin\alpha \cos\beta)^2 - (\cos\alpha \sin\beta)^2 = sin^2\alpha \cos^2\beta - \cos^2\alpha \sin^2\beta$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого выразим $\cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$ и $\cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$. Подставим эти выражения в полученное равенство:

$sin^2\alpha (1 - sin^2\beta) - (1 - sin^2\alpha) sin^2\beta$

Раскроем скобки:

$sin^2\alpha - sin^2\alpha sin^2\beta - (sin^2\beta - sin^2\alpha sin^2\beta)$

$sin^2\alpha - sin^2\alpha sin^2\beta - sin^2\beta + sin^2\alpha sin^2\beta$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-sin^2\alpha sin^2\beta$ и $+sin^2\alpha sin^2\beta$ взаимно уничтожаются.

$sin^2\alpha - sin^2\beta$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $sin(\alpha - \beta) sin(\alpha + \beta) = sin^2 \alpha - sin^2 \beta$ справедливо.

9.33* Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:

а) $4 \cos \alpha - 3 \sin \alpha$;

б) $5 \cos \alpha + 12 \sin \alpha$;

в) $\sin \alpha - 2 \cos \alpha$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражений вида $a \cos x + b \sin x$ используется метод введения вспомогательного угла. Суть метода заключается в преобразовании выражения к виду $R \cos(x \pm \phi)$ или $R \sin(x \pm \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. Поскольку функции синус и косинус принимают значения в диапазоне от -1 до 1, наибольшим значением преобразованного выражения будет $R$, а наименьшим — $-R$.

а) $4 \cos \alpha - 3 \sin \alpha$

В этом выражении коэффициенты при косинусе и синусе равны $a=4$ и $b=-3$.
Найдем амплитуду $R$: $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Вынесем $R=5$ за скобки: $4 \cos \alpha - 3 \sin \alpha = 5 \left( \frac{4}{5} \cos \alpha - \frac{3}{5} \sin \alpha \right)$.
Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{4}{5}$ и $\sin \phi = \frac{3}{5}$. Такое $\phi$ существует, так как $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$.
Тогда выражение в скобках преобразуется по формуле косинуса суммы: $\cos \phi \cos \alpha - \sin \phi \sin \alpha = \cos(\alpha + \phi)$.
Следовательно, исходное выражение равно $5 \cos(\alpha + \phi)$.
Так как область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$, то: $-1 \le \cos(\alpha + \phi) \le 1$
$-5 \le 5 \cos(\alpha + \phi) \le 5$
Таким образом, наибольшее значение выражения равно 5, а наименьшее — -5.
Ответ: наибольшее значение 5, наименьшее значение -5.

б) $5 \cos \alpha + 12 \sin \alpha$

Здесь коэффициенты $a=5$ и $b=12$.
Найдем амплитуду $R$: $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Вынесем $R=13$ за скобки: $5 \cos \alpha + 12 \sin \alpha = 13 \left( \frac{5}{13} \cos \alpha + \frac{12}{13} \sin \alpha \right)$.
Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{5}{13}$ и $\sin \phi = \frac{12}{13}$.
Тогда выражение в скобках преобразуется по формуле косинуса разности: $\cos \phi \cos \alpha + \sin \phi \sin \alpha = \cos(\alpha - \phi)$.
Следовательно, исходное выражение равно $13 \cos(\alpha - \phi)$.
Область значений функции $13 \cos(\alpha - \phi)$ — это отрезок $[-13, 13]$.
Наибольшее значение выражения равно 13, а наименьшее — -13.
Ответ: наибольшее значение 13, наименьшее значение -13.

в) $\sin \alpha - 2 \cos \alpha$

Перепишем выражение в привычном порядке: $-2 \cos \alpha + \sin \alpha$. Здесь коэффициенты $a=-2$ и $b=1$.
Найдем амплитуду $R$: $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
Вынесем $R=\sqrt{5}$ за скобки: $\sin \alpha - 2 \cos \alpha = \sqrt{5} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \sin \alpha - \frac{2}{\sqrt{5}} \cos \alpha \right)$.
Введем вспомогательный угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\sin \phi = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Тогда выражение в скобках преобразуется по формуле синуса разности: $\sin \alpha \cos \phi - \cos \alpha \sin \phi = \sin(\alpha - \phi)$.
Следовательно, исходное выражение равно $\sqrt{5} \sin(\alpha - \phi)$.
Область значений функции $\sqrt{5} \sin(\alpha - \phi)$ — это отрезок $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.
Наибольшее значение выражения равно $\sqrt{5}$, а наименьшее — $-\sqrt{5}$.
Ответ: наибольшее значение $\sqrt{5}$, наименьшее значение $-\sqrt{5}$.