Страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.4 a) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{6\pi}{7}$;

б) $\sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{7\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4}$.

а) $ \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{6\pi}{7} $

Для решения данного примера воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $

В нашем случае $ \alpha = \frac{\pi}{7} $ и $ \beta = \frac{6\pi}{7} $.

Подставим наши значения в формулу:

$ \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{6\pi}{7} = \cos(\frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7}) $

Сложим углы в аргументе косинуса:

$ \frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi $

Таким образом, выражение упрощается до:

$ \cos(\pi) $

Значение косинуса от $ \pi $ равно -1.

$ \cos(\pi) = -1 $

Ответ: $-1$

б) $ \sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{7\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4} $

Для решения этого примера также воспользуемся формулой косинуса суммы. Сначала вынесем минус за скобки, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы:

$ \sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{7\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4} = -(\cos \frac{3\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4} - \sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{7\pi}{4}) $

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) $, где $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{4} $.

Применим формулу:

$ -(\cos(\frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4})) $

Сложим углы в аргументе косинуса:

$ \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} $

Таким образом, исходное выражение равно:

$ -\cos(\frac{5\pi}{2}) $

Учитывая, что функция косинуса имеет период $ 2\pi $, мы можем упростить аргумент:

$ \frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $

Следовательно:

$ -\cos(\frac{5\pi}{2}) = -\cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) $

Так как $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $, то значение всего выражения равно:

$ -0 = 0 $

Ответ: $0$

9.5 Упростите выражение:

a) $\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \cos \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$.

а) Для упрощения выражения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$ воспользуемся формулой разности косинусов, которая имеет вид: $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$.

В данном случае, пусть $x = \alpha + \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{6}$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{6}) + (\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{6}) - (\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{6} - \alpha + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{6}$

Теперь подставим найденные значения обратно в формулу разности косинусов:

$\cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = -2 \sin(\alpha) \sin(\frac{\pi}{6})$

Зная, что значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$-2 \sin(\alpha) \cdot \frac{1}{2} = -\sin(\alpha)$

Ответ: $-\sin(\alpha)$

б) Для упрощения выражения $\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) - \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$ также применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$.

Здесь, пусть $x = \frac{\pi}{3} - \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} + \alpha$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} - \alpha) + (\frac{\pi}{3} + \alpha)}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} - \alpha) - (\frac{\pi}{3} + \alpha)}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \alpha - \frac{\pi}{3} - \alpha}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha$

Подставим эти значения в формулу:

$\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) - \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = -2 \sin(\frac{\pi}{3}) \sin(-\alpha)$

Поскольку синус является нечетной функцией, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Выражение принимает вид:

$-2 \sin(\frac{\pi}{3}) \cdot (-\sin(\alpha)) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) \sin(\alpha)$

Зная, что значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) = \sqrt{3} \sin(\alpha)$

Ответ: $\sqrt{3} \sin(\alpha)$

9.6 Вычислите $ \cos (\alpha + \beta) $ и $ \cos (\alpha - \beta) $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $, $ \cos \beta = \frac{4}{5} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.

Для вычисления $cos(\alpha + \beta)$ и $cos(\alpha - \beta)$ нам понадобятся формулы косинуса суммы и разности, а также значения $cos\alpha$ и $sin\beta$.

Формулы, которые мы будем использовать:

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

По условию задачи дано: $sin\alpha = \frac{3}{5}$, $cos\beta = \frac{4}{5}$, и углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$). Это означает, что значения синуса и косинуса для этих углов будут положительными.

1. Найдем $cos\alpha$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$

$cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ (мы берем положительное значение, так как $\alpha$ в первой четверти).

2. Найдем $sin\beta$.

Аналогично, используя $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta$

$sin^2\beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$sin\beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ (мы берем положительное значение, так как $\beta$ в первой четверти).

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычислений:

$sin\alpha = \frac{3}{5}$, $cos\alpha = \frac{4}{5}$

$sin\beta = \frac{3}{5}$, $cos\beta = \frac{4}{5}$

Теперь вычислим искомые выражения.

cos(α + β)

Подставляем найденные значения в формулу косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$

Ответ: $cos(\alpha + \beta) = \frac{7}{25}$.

cos(α - β)

Подставляем найденные значения в формулу косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$

Ответ: $cos(\alpha - \beta) = 1$.

9.7 Докажите справедливость равенства:

а) $ \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = \sin \alpha; $

б) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = -\sin \alpha; $

в) $ \cos \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\sin \alpha; $

г) $ \cos \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) = \sin \alpha. $

а) Для доказательства равенства $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha $ можно использовать формулы приведения. Сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.
$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
Теперь применим правило приведения:
1. Так как в аргументе есть $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на кофункцию, то есть на $ \sin $.
2. Определим знак. Для малого положительного угла $ \alpha $, угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в I четверти, где косинус (изначальная функция) положителен.
Таким образом, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $. Равенство доказано.
Другой способ — использование формулы косинуса разности: $ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.
$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos\alpha \cos\frac{\pi}{2} + \sin\alpha \sin\frac{\pi}{2} = \cos\alpha \cdot 0 + \sin\alpha \cdot 1 = \sin\alpha $.
Ответ: Равенство справедливо.

б) Для доказательства равенства $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $ воспользуемся формулой приведения.
1. Так как в аргументе есть $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на $ \sin $.
2. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится во II четверти, где косинус (изначальная функция) отрицателен. Поэтому перед новой функцией ставится знак «-».
Следовательно, $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

в) Для доказательства равенства $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha $ воспользуемся формулой приведения.
1. Так как в аргументе есть $ \frac{3\pi}{2} $ (нечетное число $ \frac{\pi}{2} $), функция $ \cos $ меняется на $ \sin $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится в III четверти, где косинус (изначальная функция) отрицателен. Поэтому ставим знак «-».
Следовательно, $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

г) Для доказательства равенства $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha $ воспользуемся формулой приведения.
1. Так как в аргументе есть $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на $ \sin $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится в IV четверти, где косинус (изначальная функция) положителен. Поэтому знак остается «+».
Следовательно, $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

9.8 Вычислите $\cos (\alpha - \beta)$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$ и $\sin \alpha = -\frac{1}{4}$,
$\cos \beta = \frac{1}{4}$.

Для вычисления $\cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Из условия задачи нам известны следующие значения:

• $\sin \alpha = -\frac{1}{4}$, при этом $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (третья четверть)
• $\cos \beta = \frac{1}{4}$, при этом $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$ (четвертая четверть)

Нам необходимо найти $\cos \alpha$ и $\sin \beta$.

1. Найдём $\cos \alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

Подставляем известное значение $\sin \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

Следовательно, $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), его косинус имеет отрицательное значение. Таким образом,

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

2. Найдём $\sin \beta$

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$.

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta$

Подставляем известное значение $\cos \beta$:

$\sin^2 \beta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

Следовательно, $\sin \beta = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Поскольку угол $\beta$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$), его синус имеет отрицательное значение. Таким образом,

$\sin \beta = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.

3. Вычислим $\cos(\alpha - \beta)$

Теперь подставим все найденные и данные значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = (-\frac{\sqrt{15}}{4}) \cdot (\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{\sqrt{15}}{4})$

$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{\sqrt{15}}{16} + \frac{\sqrt{15}}{16}$

$\cos(\alpha - \beta) = 0$

Ответ: $0$.

9.9 Вычислите $ \cos(\alpha + \beta) $, если $ 90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ} $, $ 90^{\circ} < \beta < 180^{\circ} $ и $ \cos \alpha = -0,8 $, $ \sin \beta = 0,2 $.

Для того чтобы вычислить $cos(\alpha + \beta)$, мы воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin \beta$

По условию нам даны $cos \alpha = -0,8$ и $sin \beta = 0,2$. Для полного решения нам необходимо найти значения $sin \alpha$ и $cos \beta$.

Нахождение $sin \alpha$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Выразим из него $sin \alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$

Подставим известное значение $cos \alpha$:

$sin^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

Отсюда $sin \alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.

Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти значения синуса положительны, поэтому мы выбираем знак "+":

$sin \alpha = 0,6$

Нахождение $cos \beta$

Аналогично, используем основное тригонометрическое тождество для угла $\beta$: $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

Выразим $cos \beta$:

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$

Подставим известное значение $sin \beta$:

$cos^2\beta = 1 - (0,2)^2 = 1 - 0,04 = 0,96$

Отсюда $cos \beta = \pm\sqrt{0,96}$.

Угол $\beta$ также находится во второй четверти ($90^\circ < \beta < 180^\circ$), где значения косинуса отрицательны. Поэтому мы выбираем знак "−":

$cos \beta = -\sqrt{0,96} = -\sqrt{\frac{96}{100}} = -\frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{10} = -\frac{4\sqrt{6}}{10} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Вычисление $cos(\alpha + \beta)$

Теперь, когда у нас есть все четыре значения, подставим их в формулу косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin \beta$

$cos(\alpha + \beta) = (-0,8) \cdot \left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) - (0,6) \cdot (0,2)$

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $ -0,8 = -\frac{4}{5} $, $ 0,6 = \frac{3}{5} $, $ 0,2 = \frac{1}{5} $.

$cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{1}{5}\right)$

Выполним умножение:

$cos(\alpha + \beta) = \frac{8\sqrt{6}}{25} - \frac{3}{25}$

Объединим дроби:

$cos(\alpha + \beta) = \frac{8\sqrt{6} - 3}{25}$

Ответ: $\frac{8\sqrt{6} - 3}{25}$

9.10 Вычислите:

a) $\frac{\cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 28^\circ \sin 2^\circ}{\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ}$

б) $\frac{\sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}}$

а)

Чтобы решить данное выражение, применим формулы сложения для тригонометрических функций.

Рассмотрим числитель дроби: $ \cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 28^\circ \sin 2^\circ $. Это выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $. В нашем случае $ \alpha = 2^\circ $ и $ \beta = 28^\circ $. Следовательно, числитель равен $ \cos(2^\circ + 28^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Теперь рассмотрим знаменатель дроби: $ \cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ $. Это выражение соответствует формуле косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. В нашем случае $ \alpha = 47^\circ $ и $ \beta = 2^\circ $. Следовательно, знаменатель равен $ \cos(47^\circ - 2^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь найдем значение всей дроби, разделив значение числителя на значение знаменателя: $ \frac{\cos(30^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $: $ \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{2} $

б)

Для решения этого выражения также воспользуемся формулами сложения.

Рассмотрим числитель дроби: $ \sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5} $. Вынесем знак минус за скобки: $ -(\cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5}) $. Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) $. Здесь $ \alpha = \frac{2\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{5} $. Таким образом, числитель равен $ -\cos(\frac{2\pi}{5} + \frac{3\pi}{5}) = -\cos(\frac{5\pi}{5}) = -\cos(\pi) $. Зная, что $ \cos(\pi) = -1 $, получаем, что числитель равен $ -(-1) = 1 $.

Теперь рассмотрим знаменатель дроби: $ \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} $. Аналогично вынесем знак минус за скобки: $ -(\cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} - \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8}) $. Выражение в скобках также является косинусом суммы. Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{8} $. Таким образом, знаменатель равен $ -\cos(\frac{\pi}{8} + \frac{7\pi}{8}) = -\cos(\frac{8\pi}{8}) = -\cos(\pi) $. Знаменатель также равен $ -(-1) = 1 $.

Найдем значение всей дроби: $ \frac{1}{1} = 1 $.

Ответ: $ 1 $

9.11 Упростите выражение:

a) $\frac{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)}$

б) $\frac{\sin \alpha \sin \beta - \cos (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha + \beta) - \cos \alpha \cos \beta}$

где $\alpha \ne \pi m$, $\beta \ne \pi n$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{Z}$.

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими формулами косинуса суммы и косинуса разности:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель исходной дроби.

Упростим числитель:

$ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = 2\cos\alpha \cos\beta $

Упростим знаменатель:

$ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = 2\sin\alpha \sin\beta $

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{2\cos\alpha \cos\beta}{2\sin\alpha \sin\beta} $

Сократим на 2 и воспользуемся определением котангенса ($ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $):

$ \frac{\cos\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cot\alpha \cot\beta $

Условия $ \alpha \neq \pi m $ и $ \beta \neq \pi n $ при $ m, n \in \mathbb{Z} $ гарантируют, что знаменатель $ 2\sin\alpha \sin\beta \neq 0 $, так как $ \sin\alpha \neq 0 $ и $ \sin\beta \neq 0 $. Эти же условия обеспечивают существование $ \cot\alpha $ и $ \cot\beta $.

Ответ: $ \cot\alpha \cot\beta $

б)

Снова используем формулы косинуса суммы и разности:

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $

Подставим их в числитель и знаменатель выражения.

Упростим числитель:

$ \sin\alpha \sin\beta - \cos(\alpha - \beta) = \sin\alpha \sin\beta - (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = -\cos\alpha \cos\beta $

Упростим знаменатель:

$ \cos(\alpha + \beta) - \cos\alpha \cos\beta = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) - \cos\alpha \cos\beta = -\sin\alpha \sin\beta $

Теперь подставим упрощенные выражения в дробь:

$ \frac{-\cos\alpha \cos\beta}{-\sin\alpha \sin\beta} $

Сократим отрицательные знаки и, как и в предыдущем пункте, воспользуемся определением котангенса:

$ \frac{\cos\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cot\alpha \cot\beta $

Условия $ \alpha \neq \pi m $ и $ \beta \neq \pi n $ при $ m, n \in \mathbb{Z} $ гарантируют, что знаменатель $ -\sin\alpha \sin\beta \neq 0 $, а также существование $ \cot\alpha $ и $ \cot\beta $.

Ответ: $ \cot\alpha \cot\beta $

Вычислите (9.12–9.13):

9.12

а) $ \cos 135^\circ $;

б) $ \cos 15^\circ $;

в) $ \cos 135^\circ $;

г) $ \cos 150^\circ $.

а) cos 135°

Для вычисления косинуса угла 135° можно использовать формулы приведения. Угол 135° находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Представим 135° как разность 180° и 45°:
$135° = 180° - 45°$
Применяем формулу приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$:
$cos(135°) = cos(180° - 45°) = -cos(45°)$
Значение косинуса 45° является табличным: $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно:
$cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) cos 15°

Для вычисления косинуса 15° представим этот угол в виде разности двух стандартных углов, например, 45° и 30°:
$15° = 45° - 30°$
Используем формулу косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
Подставляем наши значения:
$cos(15°) = cos(45° - 30°) = cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°)$
Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций:
$cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$sin(30°) = \frac{1}{2}$
Выполняем вычисление:
$cos(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

в) cos 135°

Данный подпункт полностью совпадает с подпунктом а). Приведем решение еще раз, используя другой способ.
Угол 135° можно представить как $90° + 45°$. Используем другую формулу приведения: $cos(90° + \alpha) = -sin(\alpha)$.
$cos(135°) = cos(90° + 45°) = -sin(45°)$
Так как табличное значение $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) cos 150°

Для вычисления косинуса угла 150° воспользуемся формулами приведения. Угол 150° находится во второй четверти, где косинус имеет отрицательное значение. Представим 150° как разность 180° и 30°:
$150° = 180° - 30°$
Применяем формулу $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$:
$cos(150°) = cos(180° - 30°) = -cos(30°)$
Табличное значение $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом:
$cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

9.13 a) $\cos 75^\circ + \cos 15^\circ$;

б) $\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12}$.

а)

Для решения этого выражения воспользуемся формулой суммы косинусов, которая преобразует сумму тригонометрических функций в произведение:

$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $

В данном случае $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos 75^\circ + \cos 15^\circ = 2 \cos\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cos\frac{75^\circ - 15^\circ}{2} $

Выполним вычисления в аргументах косинусов:

$ \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

$ \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $

Теперь подставим полученные значения углов обратно в выражение:

$ 2 \cos 45^\circ \cos 30^\circ $

Используем известные табличные значения косинусов:

$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим эти значения и вычислим окончательный результат:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{2} $

б)

Для решения этого выражения воспользуемся формулой разности косинусов, которая преобразует разность тригонометрических функций в произведение:

$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{12} $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos\frac{\pi}{12} - \cos\frac{5\pi}{12} = -2 \sin\frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} \sin\frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} $

Выполним вычисления в аргументах синусов:

$ \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $

$ \frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{6} $

Теперь подставим полученные значения углов обратно в выражение:

$ -2 \sin\frac{\pi}{4} \sin(-\frac{\pi}{6}) $

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

$ -2 \sin\frac{\pi}{4} \cdot (-\sin\frac{\pi}{6}) = 2 \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{\pi}{6} $

Используем известные табличные значения синусов:

$ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $

Подставим эти значения и вычислим окончательный результат:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

9.14 Упростите выражение:

a) $\cos(45^\circ + \alpha) \cos(45^\circ - \alpha) - \sin(45^\circ - \alpha) \sin(45^\circ + \alpha)$;

б) $\cos\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right) + \cos\alpha$;

в) $\cos^2(60^\circ + \beta) + \cos^2(60^\circ - \beta) + \cos^2\beta$;

г) $\cos^2\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) + \sin^2\alpha$.

а) Воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$. В данном выражении $cos(45° + \alpha) cos(45° - \alpha) - sin(45° - \alpha) sin(45° + \alpha)$ можно поменять местами множители во втором слагаемом, чтобы получить $cos(45° + \alpha) cos(45° - \alpha) - sin(45° + \alpha) sin(45° - \alpha)$. Теперь, если принять $x = 45° + \alpha$ и $y = 45° - \alpha$, выражение в точности соответствует правой части формулы. Следовательно, оно равно $cos(x+y) = cos((45° + \alpha) + (45° - \alpha)) = cos(45° + \alpha + 45° - \alpha) = cos(90°)$. Поскольку $cos(90°) = 0$, то и исходное выражение равно 0.

Ответ: $0$.

б) Используем формулы косинуса суммы и разности: $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ и $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$. Раскроем первые два слагаемых в выражении $cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) + cos(\frac{2\pi}{3} - \alpha) + cos(\alpha)$: $cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = cos(\frac{2\pi}{3})cos(\alpha) - sin(\frac{2\pi}{3})sin(\alpha)$. $cos(\frac{2\pi}{3} - \alpha) = cos(\frac{2\pi}{3})cos(\alpha) + sin(\frac{2\pi}{3})sin(\alpha)$. Сумма этих двух выражений равна: $cos(\frac{2\pi}{3})cos(\alpha) - sin(\frac{2\pi}{3})sin(\alpha) + cos(\frac{2\pi}{3})cos(\alpha) + sin(\frac{2\pi}{3})sin(\alpha) = 2cos(\frac{2\pi}{3})cos(\alpha)$. Значение $cos(\frac{2\pi}{3}) = -1/2$. Тогда $2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot cos(\alpha) = -cos(\alpha)$. Подставим полученный результат в исходное выражение: $-cos(\alpha) + cos(\alpha) = 0$.

Ответ: $0$.

в) Для упрощения выражения $cos^2(60° + \beta) + cos^2(60° - \beta) + cos^2(\beta)$ воспользуемся формулами косинуса суммы и разности. $cos(60° + \beta) = cos(60°)cos(\beta) - sin(60°)sin(\beta) = \frac{1}{2}cos(\beta) - \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\beta)$. $cos(60° - \beta) = cos(60°)cos(\beta) + sin(60°)sin(\beta) = \frac{1}{2}cos(\beta) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\beta)$. Теперь возведем эти выражения в квадрат: $cos^2(60° + \beta) = (\frac{1}{2}cos(\beta) - \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\beta))^2 = \frac{1}{4}cos^2(\beta) - \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\beta)sin(\beta) + \frac{3}{4}sin^2(\beta)$. $cos^2(60° - \beta) = (\frac{1}{2}cos(\beta) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\beta))^2 = \frac{1}{4}cos^2(\beta) + \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\beta)sin(\beta) + \frac{3}{4}sin^2(\beta)$. Сложим эти два результата: $cos^2(60° + \beta) + cos^2(60° - \beta) = (\frac{1}{4}cos^2(\beta) - \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\beta)sin(\beta) + \frac{3}{4}sin^2(\beta)) + (\frac{1}{4}cos^2(\beta) + \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\beta)sin(\beta) + \frac{3}{4}sin^2(\beta)) = \frac{2}{4}cos^2(\beta) + \frac{6}{4}sin^2(\beta) = \frac{1}{2}cos^2(\beta) + \frac{3}{2}sin^2(\beta)$. Теперь добавим к этому результату последнее слагаемое из исходного выражения, $cos^2(\beta)$: $(\frac{1}{2}cos^2(\beta) + \frac{3}{2}sin^2(\beta)) + cos^2(\beta) = \frac{3}{2}cos^2(\beta) + \frac{3}{2}sin^2(\beta)$. Вынесем общий множитель $\frac{3}{2}$ за скобки: $\frac{3}{2}(cos^2(\beta) + sin^2(\beta))$. Используя основное тригонометрическое тождество $cos^2(\beta) + sin^2(\beta) = 1$, получаем: $\frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

г) Для упрощения выражения $cos^2(\alpha - \frac{\pi}{6}) + cos^2(\alpha + \frac{\pi}{6}) + sin^2(\alpha)$ используем формулу понижения степени: $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$ и $sin^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2}$. Применим эти формулы к каждому слагаемому: $cos^2(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{1 + cos(2(\alpha - \frac{\pi}{6}))}{2} = \frac{1 + cos(2\alpha - \frac{\pi}{3})}{2}$. $cos^2(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \frac{1 + cos(2(\alpha + \frac{\pi}{6}))}{2} = \frac{1 + cos(2\alpha + \frac{\pi}{3})}{2}$. $sin^2(\alpha) = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$. Сложим все три выражения: $\frac{1 + cos(2\alpha - \frac{\pi}{3})}{2} + \frac{1 + cos(2\alpha + \frac{\pi}{3})}{2} + \frac{1 - cos(2\alpha)}{2} = \frac{1}{2}[1 + cos(2\alpha - \frac{\pi}{3}) + 1 + cos(2\alpha + \frac{\pi}{3}) + 1 - cos(2\alpha)] = \frac{1}{2}[3 + (cos(2\alpha - \frac{\pi}{3}) + cos(2\alpha + \frac{\pi}{3})) - cos(2\alpha)]$. Теперь упростим сумму косинусов в скобках, используя формулу $cos(x-y) + cos(x+y) = 2cos(x)cos(y)$. Здесь $x=2\alpha$ и $y=\frac{\pi}{3}$. $cos(2\alpha - \frac{\pi}{3}) + cos(2\alpha + \frac{\pi}{3}) = 2cos(2\alpha)cos(\frac{\pi}{3})$. Так как $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то $2cos(2\alpha) \cdot \frac{1}{2} = cos(2\alpha)$. Подставим это обратно в наше выражение: $\frac{1}{2}[3 + cos(2\alpha) - cos(2\alpha)] = \frac{1}{2}[3] = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.