Номер 9.14, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов - номер 9.14, страница 261.

Условие.

9.14 Упростите выражение:

a) $\cos(45^\circ + \alpha) \cos(45^\circ - \alpha) - \sin(45^\circ - \alpha) \sin(45^\circ + \alpha)$;

б) $\cos\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right) + \cos\alpha$;

в) $\cos^2(60^\circ + \beta) + \cos^2(60^\circ - \beta) + \cos^2\beta$;

г) $\cos^2\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) + \sin^2\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$. В данном выражении $cos(45° + \alpha) cos(45° - \alpha) - sin(45° - \alpha) sin(45° + \alpha)$ можно поменять местами множители во втором слагаемом, чтобы получить $cos(45° + \alpha) cos(45° - \alpha) - sin(45° + \alpha) sin(45° - \alpha)$. Теперь, если принять $x = 45° + \alpha$ и $y = 45° - \alpha$, выражение в точности соответствует правой части формулы. Следовательно, оно равно $cos(x+y) = cos((45° + \alpha) + (45° - \alpha)) = cos(45° + \alpha + 45° - \alpha) = cos(90°)$. Поскольку $cos(90°) = 0$, то и исходное выражение равно 0.

Ответ: $0$.

б) Используем формулы косинуса суммы и разности: $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ и $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$. Раскроем первые два слагаемых в выражении $cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) + cos(\frac{2\pi}{3} - \alpha) + cos(\alpha)$: $cos(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = cos(\frac{2\pi}{3})cos(\alpha) - sin(\frac{2\pi}{3})sin(\alpha)$. $cos(\frac{2\pi}{3} - \alpha) = cos(\frac{2\pi}{3})cos(\alpha) + sin(\frac{2\pi}{3})sin(\alpha)$. Сумма этих двух выражений равна: $cos(\frac{2\pi}{3})cos(\alpha) - sin(\frac{2\pi}{3})sin(\alpha) + cos(\frac{2\pi}{3})cos(\alpha) + sin(\frac{2\pi}{3})sin(\alpha) = 2cos(\frac{2\pi}{3})cos(\alpha)$. Значение $cos(\frac{2\pi}{3}) = -1/2$. Тогда $2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot cos(\alpha) = -cos(\alpha)$. Подставим полученный результат в исходное выражение: $-cos(\alpha) + cos(\alpha) = 0$.

Ответ: $0$.

в) Для упрощения выражения $cos^2(60° + \beta) + cos^2(60° - \beta) + cos^2(\beta)$ воспользуемся формулами косинуса суммы и разности. $cos(60° + \beta) = cos(60°)cos(\beta) - sin(60°)sin(\beta) = \frac{1}{2}cos(\beta) - \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\beta)$. $cos(60° - \beta) = cos(60°)cos(\beta) + sin(60°)sin(\beta) = \frac{1}{2}cos(\beta) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\beta)$. Теперь возведем эти выражения в квадрат: $cos^2(60° + \beta) = (\frac{1}{2}cos(\beta) - \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\beta))^2 = \frac{1}{4}cos^2(\beta) - \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\beta)sin(\beta) + \frac{3}{4}sin^2(\beta)$. $cos^2(60° - \beta) = (\frac{1}{2}cos(\beta) + \frac{\sqrt{3}}{2}sin(\beta))^2 = \frac{1}{4}cos^2(\beta) + \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\beta)sin(\beta) + \frac{3}{4}sin^2(\beta)$. Сложим эти два результата: $cos^2(60° + \beta) + cos^2(60° - \beta) = (\frac{1}{4}cos^2(\beta) - \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\beta)sin(\beta) + \frac{3}{4}sin^2(\beta)) + (\frac{1}{4}cos^2(\beta) + \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\beta)sin(\beta) + \frac{3}{4}sin^2(\beta)) = \frac{2}{4}cos^2(\beta) + \frac{6}{4}sin^2(\beta) = \frac{1}{2}cos^2(\beta) + \frac{3}{2}sin^2(\beta)$. Теперь добавим к этому результату последнее слагаемое из исходного выражения, $cos^2(\beta)$: $(\frac{1}{2}cos^2(\beta) + \frac{3}{2}sin^2(\beta)) + cos^2(\beta) = \frac{3}{2}cos^2(\beta) + \frac{3}{2}sin^2(\beta)$. Вынесем общий множитель $\frac{3}{2}$ за скобки: $\frac{3}{2}(cos^2(\beta) + sin^2(\beta))$. Используя основное тригонометрическое тождество $cos^2(\beta) + sin^2(\beta) = 1$, получаем: $\frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

г) Для упрощения выражения $cos^2(\alpha - \frac{\pi}{6}) + cos^2(\alpha + \frac{\pi}{6}) + sin^2(\alpha)$ используем формулу понижения степени: $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$ и $sin^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2}$. Применим эти формулы к каждому слагаемому: $cos^2(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{1 + cos(2(\alpha - \frac{\pi}{6}))}{2} = \frac{1 + cos(2\alpha - \frac{\pi}{3})}{2}$. $cos^2(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \frac{1 + cos(2(\alpha + \frac{\pi}{6}))}{2} = \frac{1 + cos(2\alpha + \frac{\pi}{3})}{2}$. $sin^2(\alpha) = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$. Сложим все три выражения: $\frac{1 + cos(2\alpha - \frac{\pi}{3})}{2} + \frac{1 + cos(2\alpha + \frac{\pi}{3})}{2} + \frac{1 - cos(2\alpha)}{2} = \frac{1}{2}[1 + cos(2\alpha - \frac{\pi}{3}) + 1 + cos(2\alpha + \frac{\pi}{3}) + 1 - cos(2\alpha)] = \frac{1}{2}[3 + (cos(2\alpha - \frac{\pi}{3}) + cos(2\alpha + \frac{\pi}{3})) - cos(2\alpha)]$. Теперь упростим сумму косинусов в скобках, используя формулу $cos(x-y) + cos(x+y) = 2cos(x)cos(y)$. Здесь $x=2\alpha$ и $y=\frac{\pi}{3}$. $cos(2\alpha - \frac{\pi}{3}) + cos(2\alpha + \frac{\pi}{3}) = 2cos(2\alpha)cos(\frac{\pi}{3})$. Так как $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то $2cos(2\alpha) \cdot \frac{1}{2} = cos(2\alpha)$. Подставим это обратно в наше выражение: $\frac{1}{2}[3 + cos(2\alpha) - cos(2\alpha)] = \frac{1}{2}[3] = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.