Номер 9.7, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.7, страница 261.

9.7 Докажите справедливость равенства:

а) $ \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = \sin \alpha; $

б) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = -\sin \alpha; $

в) $ \cos \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\sin \alpha; $

г) $ \cos \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) = \sin \alpha. $

а) Для доказательства равенства $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha $ можно использовать формулы приведения. Сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.
$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.
Теперь применим правило приведения:
1. Так как в аргументе есть $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на кофункцию, то есть на $ \sin $.
2. Определим знак. Для малого положительного угла $ \alpha $, угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в I четверти, где косинус (изначальная функция) положителен.
Таким образом, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $. Равенство доказано.
Другой способ — использование формулы косинуса разности: $ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.
$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos\alpha \cos\frac{\pi}{2} + \sin\alpha \sin\frac{\pi}{2} = \cos\alpha \cdot 0 + \sin\alpha \cdot 1 = \sin\alpha $.
Ответ: Равенство справедливо.

б) Для доказательства равенства $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $ воспользуемся формулой приведения.
1. Так как в аргументе есть $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на $ \sin $.
2. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится во II четверти, где косинус (изначальная функция) отрицателен. Поэтому перед новой функцией ставится знак «-».
Следовательно, $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

в) Для доказательства равенства $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha $ воспользуемся формулой приведения.
1. Так как в аргументе есть $ \frac{3\pi}{2} $ (нечетное число $ \frac{\pi}{2} $), функция $ \cos $ меняется на $ \sin $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится в III четверти, где косинус (изначальная функция) отрицателен. Поэтому ставим знак «-».
Следовательно, $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

г) Для доказательства равенства $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha $ воспользуемся формулой приведения.
1. Так как в аргументе есть $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на $ \sin $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится в IV четверти, где косинус (изначальная функция) положителен. Поэтому знак остается «+».
Следовательно, $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.