Номер 9.6, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.6, страница 261.

9.6 Вычислите $ \cos (\alpha + \beta) $ и $ \cos (\alpha - \beta) $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $, $ \cos \beta = \frac{4}{5} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $.

Для вычисления $cos(\alpha + \beta)$ и $cos(\alpha - \beta)$ нам понадобятся формулы косинуса суммы и разности, а также значения $cos\alpha$ и $sin\beta$.

Формулы, которые мы будем использовать:

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

По условию задачи дано: $sin\alpha = \frac{3}{5}$, $cos\beta = \frac{4}{5}$, и углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$). Это означает, что значения синуса и косинуса для этих углов будут положительными.

1. Найдем $cos\alpha$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$

$cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ (мы берем положительное значение, так как $\alpha$ в первой четверти).

2. Найдем $sin\beta$.

Аналогично, используя $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta$

$sin^2\beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$sin\beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ (мы берем положительное значение, так как $\beta$ в первой четверти).

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычислений:

$sin\alpha = \frac{3}{5}$, $cos\alpha = \frac{4}{5}$

$sin\beta = \frac{3}{5}$, $cos\beta = \frac{4}{5}$

Теперь вычислим искомые выражения.

cos(α + β)

Подставляем найденные значения в формулу косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$

Ответ: $cos(\alpha + \beta) = \frac{7}{25}$.

cos(α - β)

Подставляем найденные значения в формулу косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$

Ответ: $cos(\alpha - \beta) = 1$.