Номер 9.5, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.5, страница 261.

9.5 Упростите выражение:

a) $\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \cos \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$.

а) Для упрощения выражения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$ воспользуемся формулой разности косинусов, которая имеет вид: $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$.

В данном случае, пусть $x = \alpha + \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{6}$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{6}) + (\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{6}) - (\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{6} - \alpha + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{6}$

Теперь подставим найденные значения обратно в формулу разности косинусов:

$\cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = -2 \sin(\alpha) \sin(\frac{\pi}{6})$

Зная, что значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$-2 \sin(\alpha) \cdot \frac{1}{2} = -\sin(\alpha)$

Ответ: $-\sin(\alpha)$

б) Для упрощения выражения $\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) - \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$ также применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$.

Здесь, пусть $x = \frac{\pi}{3} - \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} + \alpha$.

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} - \alpha) + (\frac{\pi}{3} + \alpha)}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} - \alpha) - (\frac{\pi}{3} + \alpha)}{2} = \frac{\frac{\pi}{3} - \alpha - \frac{\pi}{3} - \alpha}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha$

Подставим эти значения в формулу:

$\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) - \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = -2 \sin(\frac{\pi}{3}) \sin(-\alpha)$

Поскольку синус является нечетной функцией, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Выражение принимает вид:

$-2 \sin(\frac{\pi}{3}) \cdot (-\sin(\alpha)) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) \sin(\alpha)$

Зная, что значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) = \sqrt{3} \sin(\alpha)$

Ответ: $\sqrt{3} \sin(\alpha)$