Номер 9.10, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.10, страница 261.

9.10 Вычислите:

a) $\frac{\cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 28^\circ \sin 2^\circ}{\cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ}$

б) $\frac{\sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}}$

а)

Чтобы решить данное выражение, применим формулы сложения для тригонометрических функций.

Рассмотрим числитель дроби: $ \cos 2^\circ \cos 28^\circ - \sin 28^\circ \sin 2^\circ $. Это выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $. В нашем случае $ \alpha = 2^\circ $ и $ \beta = 28^\circ $. Следовательно, числитель равен $ \cos(2^\circ + 28^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Теперь рассмотрим знаменатель дроби: $ \cos 47^\circ \cos 2^\circ + \sin 47^\circ \sin 2^\circ $. Это выражение соответствует формуле косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. В нашем случае $ \alpha = 47^\circ $ и $ \beta = 2^\circ $. Следовательно, знаменатель равен $ \cos(47^\circ - 2^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь найдем значение всей дроби, разделив значение числителя на значение знаменателя: $ \frac{\cos(30^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $: $ \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{2} $

б)

Для решения этого выражения также воспользуемся формулами сложения.

Рассмотрим числитель дроби: $ \sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5} - \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5} $. Вынесем знак минус за скобки: $ -(\cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{5}) $. Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) $. Здесь $ \alpha = \frac{2\pi}{5} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{5} $. Таким образом, числитель равен $ -\cos(\frac{2\pi}{5} + \frac{3\pi}{5}) = -\cos(\frac{5\pi}{5}) = -\cos(\pi) $. Зная, что $ \cos(\pi) = -1 $, получаем, что числитель равен $ -(-1) = 1 $.

Теперь рассмотрим знаменатель дроби: $ \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} $. Аналогично вынесем знак минус за скобки: $ -(\cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} - \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{7\pi}{8}) $. Выражение в скобках также является косинусом суммы. Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{8} $. Таким образом, знаменатель равен $ -\cos(\frac{\pi}{8} + \frac{7\pi}{8}) = -\cos(\frac{8\pi}{8}) = -\cos(\pi) $. Знаменатель также равен $ -(-1) = 1 $.

Найдем значение всей дроби: $ \frac{1}{1} = 1 $.

Ответ: $ 1 $