Номер 9.13, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов - номер 9.13, страница 261.

Условие.

9.13 a) $\cos 75^\circ + \cos 15^\circ$;

б) $\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для решения этого выражения воспользуемся формулой суммы косинусов, которая преобразует сумму тригонометрических функций в произведение:

$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $

В данном случае $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos 75^\circ + \cos 15^\circ = 2 \cos\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cos\frac{75^\circ - 15^\circ}{2} $

Выполним вычисления в аргументах косинусов:

$ \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

$ \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $

Теперь подставим полученные значения углов обратно в выражение:

$ 2 \cos 45^\circ \cos 30^\circ $

Используем известные табличные значения косинусов:

$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим эти значения и вычислим окончательный результат:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{2} $

б)

Для решения этого выражения воспользуемся формулой разности косинусов, которая преобразует разность тригонометрических функций в произведение:

$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $

В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{12} $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos\frac{\pi}{12} - \cos\frac{5\pi}{12} = -2 \sin\frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} \sin\frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} $

Выполним вычисления в аргументах синусов:

$ \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $

$ \frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{6} $

Теперь подставим полученные значения углов обратно в выражение:

$ -2 \sin\frac{\pi}{4} \sin(-\frac{\pi}{6}) $

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

$ -2 \sin\frac{\pi}{4} \cdot (-\sin\frac{\pi}{6}) = 2 \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{\pi}{6} $

Используем известные табличные значения синусов:

$ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $

Подставим эти значения и вычислим окончательный результат:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $