Номер 9.13, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.13, страница 261.
№9.13 (с. 261)
Условие. №9.13 (с. 261)
скриншот условия

9.13 a) $\cos 75^\circ + \cos 15^\circ$;
б) $\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12}$.
Решение 1. №9.13 (с. 261)


Решение 2. №9.13 (с. 261)

Решение 3. №9.13 (с. 261)

Решение 4. №9.13 (с. 261)

Решение 5. №9.13 (с. 261)
а)
Для решения этого выражения воспользуемся формулой суммы косинусов, которая преобразует сумму тригонометрических функций в произведение:
$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $
В данном случае $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $.
Подставим эти значения в формулу:
$ \cos 75^\circ + \cos 15^\circ = 2 \cos\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cos\frac{75^\circ - 15^\circ}{2} $
Выполним вычисления в аргументах косинусов:
$ \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $
$ \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $
Теперь подставим полученные значения углов обратно в выражение:
$ 2 \cos 45^\circ \cos 30^\circ $
Используем известные табличные значения косинусов:
$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставим эти значения и вычислим окончательный результат:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} $
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{2} $
б)
Для решения этого выражения воспользуемся формулой разности косинусов, которая преобразует разность тригонометрических функций в произведение:
$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $
В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{12} $.
Подставим эти значения в формулу:
$ \cos\frac{\pi}{12} - \cos\frac{5\pi}{12} = -2 \sin\frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} \sin\frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} $
Выполним вычисления в аргументах синусов:
$ \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $
$ \frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{6} $
Теперь подставим полученные значения углов обратно в выражение:
$ -2 \sin\frac{\pi}{4} \sin(-\frac{\pi}{6}) $
Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ -2 \sin\frac{\pi}{4} \cdot (-\sin\frac{\pi}{6}) = 2 \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{\pi}{6} $
Используем известные табличные значения синусов:
$ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $
Подставим эти значения и вычислим окончательный результат:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 9.13 расположенного на странице 261 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.13 (с. 261), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.