Номер 9.17, страница 262 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.17, страница 262.

9.17 a) Найдите $ \cos(\alpha + \beta) $, если $ 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} $, $ 180^{\circ} < \beta < 270^{\circ} $, $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $, $ \sin \beta = -\frac{1}{2} $.

б) Найдите $ \cos(\alpha - \beta) $, если $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $, $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos \beta = -1 $.

а)

Чтобы найти $\cos(\alpha + \beta)$, воспользуемся формулой косинуса суммы углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

По условию задачи нам даны значения $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $\sin \beta = -\frac{1}{2}$. Нам необходимо найти $\sin \alpha$ и $\cos \beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и информацию о четвертях, в которых находятся углы.

1. Найдем $\sin \alpha$.

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Поскольку угол $\alpha$ находится в интервале $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (I четверть), значение синуса для этого угла положительно. Следовательно, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем $\cos \beta$.

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\cos \beta = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Поскольку угол $\beta$ находится в интервале $180^\circ < \beta < 270^\circ$ (III четверть), значение косинуса для этого угла отрицательно. Следовательно, $\cos \beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Теперь подставим все известные и найденные значения в формулу косинуса суммы:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} - (-\frac{\sqrt{3}}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$.

Ответ: 0

б)

Чтобы найти $\cos(\alpha - \beta)$, воспользуемся формулой косинуса разности углов:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

По условию задачи нам даны значения $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \beta = -1$. Нам необходимо найти $\cos \alpha$ и $\sin \beta$.

1. Найдем $\cos \alpha$.

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Поскольку угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (IV четверть), значение косинуса для этого угла положительно. Следовательно, $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем $\sin \beta$.

Если $\cos \beta = -1$, то это соответствует углу $\beta = \pi + 2\pi k$, где $k$ - целое число. Для таких углов синус всегда равен 0.

Также можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$

Следовательно, $\sin \beta = 0$.

3. Теперь подставим все значения в формулу косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-1) + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$