Номер 9.20, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.2. Формулы для дополнительных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.20, страница 263.

Упростите выражение (9.20—9.22):

9.20

а) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \right) $;

б) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) $;

в) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \right) $;

г) $ \cos \left( \frac{2\pi}{13} - \frac{\pi}{2} \right) $;

д) $ \cos \left( \frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2} \right) $;

е) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} \right) $.

а) Для упрощения выражения $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6})$ воспользуемся формулой приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{6})$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным: $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для выражения $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})$ применим ту же формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4})$.

Это табличное значение: $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) Упростим $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3})$ с помощью формулы $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Получаем: $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3})$.

Это табличное значение: $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Для упрощения $cos(\frac{2\pi}{13} - \frac{\pi}{2})$ воспользуемся свойством четности косинуса: $cos(-x) = cos(x)$.

$cos(\frac{2\pi}{13} - \frac{\pi}{2}) = cos(-(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{13})) = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{13})$.

Теперь применим формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$, где $\alpha = \frac{2\pi}{13}$.

Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{13}) = sin(\frac{2\pi}{13})$.

Ответ: $sin(\frac{2\pi}{13})$.

д) Выражение $cos(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2})$ упрощается аналогично предыдущему пункту.

Используем четность косинуса: $cos(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}) = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7})$.

Применяем формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$, где $\alpha = \frac{\pi}{7}$.

В результате получаем: $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = sin(\frac{\pi}{7})$.

Ответ: $sin(\frac{\pi}{7})$.

е) Для упрощения $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8})$ снова используем формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

В этом случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = sin(\frac{\pi}{8})$.

Ответ: $sin(\frac{\pi}{8})$.