Страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.19 Докажите формулы:

a) $cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$;

б) $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$.

а) Для доказательства данной формулы используются формулы приведения или, более общо, формула косинуса суммы. Формула косинуса суммы двух углов выглядит следующим образом: $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $.

Применим эту формулу для выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $. В данном случае, $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\alpha - \sin(\frac{\pi}{2}) \cdot \sin\alpha $.

Известны значения тригонометрических функций для угла $ \frac{\pi}{2} $:

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

Подставим эти значения в наше выражение:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 0 \cdot \cos\alpha - 1 \cdot \sin\alpha = 0 - \sin\alpha = -\sin\alpha $.

Таким образом, формула $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $ доказана.

Ответ: Доказано, что $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $.

б) Для доказательства этой формулы воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Применим эту формулу для выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) $, где $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $.

Подставим эти значения в формулу:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\alpha + \cos(\frac{\pi}{2}) \cdot \sin\alpha $.

Используем те же значения тригонометрических функций для угла $ \frac{\pi}{2} $:

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

Подставим их в наше выражение:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 1 \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = \cos\alpha + 0 = \cos\alpha $.

Таким образом, формула $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $ доказана.

Ответ: Доказано, что $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $.

Упростите выражение (9.20—9.22):

9.20

а) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \right) $;

б) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) $;

в) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \right) $;

г) $ \cos \left( \frac{2\pi}{13} - \frac{\pi}{2} \right) $;

д) $ \cos \left( \frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2} \right) $;

е) $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} \right) $.

а) Для упрощения выражения $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6})$ воспользуемся формулой приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{6})$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным: $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Для выражения $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})$ применим ту же формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4})$.

Это табличное значение: $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) Упростим $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3})$ с помощью формулы $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Получаем: $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3})$.

Это табличное значение: $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Для упрощения $cos(\frac{2\pi}{13} - \frac{\pi}{2})$ воспользуемся свойством четности косинуса: $cos(-x) = cos(x)$.

$cos(\frac{2\pi}{13} - \frac{\pi}{2}) = cos(-(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{13})) = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{13})$.

Теперь применим формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$, где $\alpha = \frac{2\pi}{13}$.

Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{13}) = sin(\frac{2\pi}{13})$.

Ответ: $sin(\frac{2\pi}{13})$.

д) Выражение $cos(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2})$ упрощается аналогично предыдущему пункту.

Используем четность косинуса: $cos(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}) = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7})$.

Применяем формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$, где $\alpha = \frac{\pi}{7}$.

В результате получаем: $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = sin(\frac{\pi}{7})$.

Ответ: $sin(\frac{\pi}{7})$.

е) Для упрощения $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8})$ снова используем формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

В этом случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = sin(\frac{\pi}{8})$.

Ответ: $sin(\frac{\pi}{8})$.

9.21 а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\right)$;

б) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$;

в) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)$;

г) $\sin\left(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{2}\right)$;

д) $\sin\left(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}\right)$;

е) $\sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2}\right)$.

а) Для вычисления значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) $ воспользуемся формулой приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = \frac{2\pi}{3} $.
Получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) $.
Значение косинуса для угла $ \frac{2\pi}{3} $ является табличным. Угол $ \frac{2\pi}{3} $ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
$ \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $

б) Для вычисления значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) $ воспользуемся формулой приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{3} $.
Получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) $.
Значение $ \cos(\frac{\pi}{3}) $ является табличным и равно $ \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Для вычисления значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) $ воспользуемся формулой приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
Получаем:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $.
Значение $ \cos(\frac{\pi}{6}) $ является табличным и равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

г) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{2}) $ сначала вынесем минус за скобки внутри синуса, а затем воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(\frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5})) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) $.
Теперь применим формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $, где $ \alpha = \frac{\pi}{5} $.
$ -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5}) $.
Ответ: $ -\cos(\frac{\pi}{5}) $

д) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7})) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) $.
Далее применим формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $, где $ \alpha = \frac{\pi}{7} $.
$ -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = -\cos(\frac{\pi}{7}) $.
Ответ: $ -\cos(\frac{\pi}{7}) $

е) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8})) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) $.
Применим формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $, где $ \alpha = \frac{\pi}{8} $.
$ -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{\pi}{8}) $.
Ответ: $ -\cos(\frac{\pi}{8}) $

9.22 a) $sin (90^\circ - 13^\circ);$

б) $sin (-90^\circ + 24^\circ);$

в) $sin (-90^\circ - 31^\circ);$

г) $cos (90^\circ - 25^\circ);$

д) $cos (-90^\circ + 17^\circ);$

е) $cos (-90^\circ - 22^\circ).$

а) Для упрощения выражения $\sin(90^\circ - 13^\circ)$ применяем формулы приведения. Это формула вида $\sin(90^\circ - \alpha)$, где $\alpha = 13^\circ$. Согласно правилу, если в аргументе присутствует угол $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$), функция меняется на кофункцию: синус на косинус. Далее определяем знак. Угол $90^\circ - 13^\circ = 77^\circ$ находится в первой координатной четверти, где синус положителен. Следовательно, итоговое выражение будет иметь знак «+». Таким образом, получаем: $\sin(90^\circ - 13^\circ) = \cos(13^\circ)$. Ответ: $\cos(13^\circ)$.

б) Для выражения $\sin(-90^\circ + 24^\circ)$ используем формулы приведения. Это формула вида $\sin(-90^\circ + \alpha)$, где $\alpha = 24^\circ$. Угол $-90^\circ$ (или $-\frac{\pi}{2}$) означает, что функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$. Чтобы определить знак, посмотрим, в какой четверти находится угол $-90^\circ + 24^\circ = -66^\circ$. Этот угол расположен в четвертой четверти, где синус имеет отрицательное значение. Поэтому перед кофункцией ставится знак «-». В результате получаем: $\sin(-90^\circ + 24^\circ) = -\cos(24^\circ)$. Ответ: $-\cos(24^\circ)$.

в) Упростим $\sin(-90^\circ - 31^\circ)$ с помощью формул приведения. Это формула вида $\sin(-90^\circ - \alpha)$, где $\alpha = 31^\circ$. Наличие угла $-90^\circ$ указывает на замену функции $\sin$ на кофункцию $\cos$. Угол $-90^\circ - 31^\circ = -121^\circ$ находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен, следовательно, перед кофункцией ставим знак «-». Получаем: $\sin(-90^\circ - 31^\circ) = -\cos(31^\circ)$. Ответ: $-\cos(31^\circ)$.

г) Для выражения $\cos(90^\circ - 25^\circ)$ применяем формулы приведения. Это формула вида $\cos(90^\circ - \alpha)$, где $\alpha = 25^\circ$. Наличие угла $90^\circ$ означает, что функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$. Угол $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ лежит в первой четверти, где косинус положителен. Значит, знак итогового выражения будет «+». Таким образом, $\cos(90^\circ - 25^\circ) = \sin(25^\circ)$. Ответ: $\sin(25^\circ)$.

д) Для упрощения $\cos(-90^\circ + 17^\circ)$ используем формулы приведения. Это формула вида $\cos(-90^\circ + \alpha)$, где $\alpha = 17^\circ$. Угол $-90^\circ$ указывает на смену функции $\cos$ на кофункцию $\sin$. Угол $-90^\circ + 17^\circ = -73^\circ$ находится в четвертой четверти. В четвертой четверти косинус положителен, поэтому знак перед кофункцией будет «+». В итоге, $\cos(-90^\circ + 17^\circ) = \sin(17^\circ)$. Также можно воспользоваться свойством четности косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$, тогда $\cos(-90^\circ + 17^\circ) = \cos(-(90^\circ - 17^\circ)) = \cos(90^\circ - 17^\circ) = \sin(17^\circ)$. Ответ: $\sin(17^\circ)$.

е) Упростим $\cos(-90^\circ - 22^\circ)$ с помощью формул приведения. Это формула вида $\cos(-90^\circ - \alpha)$, где $\alpha = 22^\circ$. Наличие угла $-90^\circ$ означает, что функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$. Угол $-90^\circ - 22^\circ = -112^\circ$ лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен. Поэтому перед кофункцией ставится знак «-». Таким образом, $\cos(-90^\circ - 22^\circ) = -\sin(22^\circ)$. Альтернативный способ: используя четность косинуса, $\cos(-90^\circ - 22^\circ) = \cos(90^\circ + 22^\circ)$. Угол $90^\circ + 22^\circ = 112^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, а функция меняется на синус, поэтому $\cos(90^\circ + 22^\circ) = -\sin(22^\circ)$. Ответ: $-\sin(22^\circ)$.

9.23 Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего 45°:

а) $sin 80^\circ = \sin (90^\circ - 10^\circ) = \ldots;$

б) $sin 70^\circ;$

в) $cos 82^\circ;$

г) $sin 440^\circ;$

д) $sin 792^\circ;$

е) $sin 1859^\circ;$

ж) $cos 444^\circ;$

з) $cos 799^\circ;$

и) $cos 2005^\circ.$

а) Для того чтобы выразить `$\sin 80^\circ$`, воспользуемся формулой приведения `$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$`. Представим угол `$80^\circ$` как разность `$90^\circ - 10^\circ$`.
`$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$`.
Угол `$10^\circ$` является положительным и не превышает `$45^\circ$`.
Ответ: `$\cos 10^\circ$`.

б) Для выражения `$\sin 70^\circ$` применим ту же формулу приведения: `$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$`.
`$\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$`.
Угол `$20^\circ$` положителен и не превышает `$45^\circ$`.
Ответ: `$\cos 20^\circ$`.

в) Для выражения `$\cos 82^\circ$` воспользуемся формулой приведения `$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$`.
`$\cos 82^\circ = \cos(90^\circ - 8^\circ) = \sin 8^\circ$`.
Угол `$8^\circ$` положителен и не превышает `$45^\circ$`.
Ответ: `$\sin 8^\circ$`.

г) Для выражения `$\sin 440^\circ$` сначала воспользуемся периодичностью функции синус, период которой равен `$360^\circ$` (`$\sin(\alpha + 360^\circ \cdot n) = \sin \alpha$`).
`$440^\circ = 360^\circ + 80^\circ$`.
`$\sin 440^\circ = \sin(360^\circ + 80^\circ) = \sin 80^\circ$`.
Теперь, используя формулу приведения, как в пункте а), получаем:
`$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$`.
Ответ: `$\cos 10^\circ$`.

д) Для выражения `$\sin 792^\circ$` используем свойство периодичности синуса.
`$792^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 72^\circ$`.
`$\sin 792^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 72^\circ) = \sin 72^\circ$`.
Далее применяем формулу приведения:
`$\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$`.
Ответ: `$\cos 18^\circ$`.

е) Для выражения `$\sin 1859^\circ$` используем свойство периодичности синуса.
`$1859^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 59^\circ$`, так как `$5 \cdot 360^\circ = 1800^\circ$`.
`$\sin 1859^\circ = \sin(5 \cdot 360^\circ + 59^\circ) = \sin 59^\circ$`.
Применяем формулу приведения:
`$\sin 59^\circ = \sin(90^\circ - 31^\circ) = \cos 31^\circ$`.
Ответ: `$\cos 31^\circ$`.

ж) Для выражения `$\cos 444^\circ$` сначала воспользуемся периодичностью функции косинус (`$\cos(\alpha + 360^\circ \cdot n) = \cos \alpha$`).
`$444^\circ = 360^\circ + 84^\circ$`.
`$\cos 444^\circ = \cos(360^\circ + 84^\circ) = \cos 84^\circ$`.
Теперь применяем формулу приведения `$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$`.
`$\cos 84^\circ = \cos(90^\circ - 6^\circ) = \sin 6^\circ$`.
Ответ: `$\sin 6^\circ$`.

з) Для выражения `$\cos 799^\circ$` используем свойство периодичности косинуса.
`$799^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 79^\circ$`, так как `$2 \cdot 360^\circ = 720^\circ$`.
`$\cos 799^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 79^\circ) = \cos 79^\circ$`.
Применяем формулу приведения:
`$\cos 79^\circ = \cos(90^\circ - 11^\circ) = \sin 11^\circ$`.
Ответ: `$\sin 11^\circ$`.

и) Для выражения `$\cos 2005^\circ$` используем свойство периодичности косинуса.
`$2005^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 205^\circ$`, так как `$5 \cdot 360^\circ = 1800^\circ$`.
`$\cos 2005^\circ = \cos(5 \cdot 360^\circ + 205^\circ) = \cos 205^\circ$`.
Угол `$205^\circ$` находится в III четверти, где косинус отрицателен. Применим формулу приведения `$\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$`.
`$\cos 205^\circ = \cos(180^\circ + 25^\circ) = -\cos 25^\circ$`.
Угол `$25^\circ$` удовлетворяет заданному условию.
Ответ: `$-\cos 25^\circ$`.

9.24 Выразите число через синус или косинус положительного угла, не превышающего $\frac{\pi}{4}$:

а) $\sin \frac{\pi}{3}$;

б) $\cos \frac{\pi}{3}$;

в) $\sin \frac{5\pi}{7}$;

г) $\cos \frac{11\pi}{13}$;

д) $\sin \frac{13\pi}{5}$;

е) $\cos \frac{14\pi}{5}$;

ж) $\sin \frac{24\pi}{7}$;

з) $\cos \frac{29\pi}{7}$.

а)

Для выражения $ \sin\frac{\pi}{3} $ через функцию угла, не превышающего $ \frac{\pi}{4} $, воспользуемся формулой приведения $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ больше $ \frac{\pi}{4} $, поэтому такое преобразование необходимо.

$ \sin\frac{\pi}{3} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} $.

Полученный угол $ \frac{\pi}{6} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \cos\frac{\pi}{6} $.

б)

Для $ \cos\frac{\pi}{3} $, так как угол $ \frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4} $, применим формулу приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $:

$ \cos\frac{\pi}{3} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} $.

Полученный угол $ \frac{\pi}{6} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \sin\frac{\pi}{6} $.

в)

Угол $ \frac{5\pi}{7} $ находится во второй четверти. Сначала приведем его к острому углу с помощью формулы $ \sin\alpha = \sin(\pi - \alpha) $:

$ \sin\frac{5\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{5\pi}{7}) = \sin\frac{2\pi}{7} $.

Теперь угол $ \frac{2\pi}{7} $ острый, но $ \frac{2\pi}{7} > \frac{\pi}{4} $. Применим формулу $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $:

$ \sin\frac{2\pi}{7} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{7}) = \cos(\frac{7\pi - 4\pi}{14}) = \cos\frac{3\pi}{14} $.

Угол $ \frac{3\pi}{14} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{3\pi}{14} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \cos\frac{3\pi}{14} $.

г)

Угол $ \frac{11\pi}{13} $ находится во второй четверти. Применим формулу приведения $ \cos\alpha = -\cos(\pi - \alpha) $:

$ \cos\frac{11\pi}{13} = -\cos(\pi - \frac{11\pi}{13}) = -\cos(\frac{13\pi - 11\pi}{13}) = -\cos\frac{2\pi}{13} $.

Угол $ \frac{2\pi}{13} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{2\pi}{13} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ -\cos\frac{2\pi}{13} $.

д)

Угол $ \frac{13\pi}{5} $ больше $ 2\pi $. Используем периодичность синуса $ \sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha $:

$ \sin\frac{13\pi}{5} = \sin(\frac{10\pi + 3\pi}{5}) = \sin(2\pi + \frac{3\pi}{5}) = \sin\frac{3\pi}{5} $.

Далее, как и в пункте в), приводим угол к требуемому диапазону: $ \sin\frac{3\pi}{5} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{5}) = \sin\frac{2\pi}{5} $.

И, так как $ \frac{2\pi}{5} > \frac{\pi}{4} $, $ \sin\frac{2\pi}{5} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}) = \cos(\frac{5\pi - 4\pi}{10}) = \cos\frac{\pi}{10} $.

Угол $ \frac{\pi}{10} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{10} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \cos\frac{\pi}{10} $.

е)

Угол $ \frac{14\pi}{5} $ больше $ 2\pi $. Используем периодичность косинуса $ \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha $:

$ \cos\frac{14\pi}{5} = \cos(\frac{10\pi + 4\pi}{5}) = \cos(2\pi + \frac{4\pi}{5}) = \cos\frac{4\pi}{5} $.

Применим формулу приведения для угла второй четверти $ \cos\alpha = -\cos(\pi - \alpha) $:

$ \cos\frac{4\pi}{5} = -\cos(\pi - \frac{4\pi}{5}) = -\cos\frac{\pi}{5} $.

Угол $ \frac{\pi}{5} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{5} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ -\cos\frac{\pi}{5} $.

ж)

Угол $ \frac{24\pi}{7} $ больше $ 2\pi $. Используем периодичность синуса:

$ \sin\frac{24\pi}{7} = \sin(\frac{14\pi + 10\pi}{7}) = \sin(2\pi + \frac{10\pi}{7}) = \sin\frac{10\pi}{7} $.

Угол $ \frac{10\pi}{7} $ находится в третьей четверти. Применим формулу $ \sin\alpha = -\sin(\alpha - \pi) $:

$ \sin\frac{10\pi}{7} = -\sin(\frac{10\pi}{7} - \pi) = -\sin\frac{3\pi}{7} $.

Так как $ \frac{3\pi}{7} > \frac{\pi}{4} $, применим формулу $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $:

$ -\sin\frac{3\pi}{7} = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{7}) = -\cos(\frac{7\pi - 6\pi}{14}) = -\cos\frac{\pi}{14} $.

Угол $ \frac{\pi}{14} $ удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{14} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ -\cos\frac{\pi}{14} $.

з)

Угол $ \frac{29\pi}{7} $ больше $ 2\pi $. Используем периодичность косинуса:

$ \cos\frac{29\pi}{7} = \cos(\frac{28\pi + \pi}{7}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{7}) = \cos\frac{\pi}{7} $.

Полученный угол $ \frac{\pi}{7} $ уже удовлетворяет условию $ 0 < \frac{\pi}{7} \le \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \cos\frac{\pi}{7} $.