Номер 9.1, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов - номер 9.1, страница 260.

Условие.

9.1 Запишите формулу:

a) косинуса разности двух углов;

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

б) косинуса суммы двух углов.

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Формула косинуса разности двух углов, которые мы можем обозначить как $\alpha$ и $\beta$, является одной из фундаментальных тригонометрических формул сложения. Она устанавливает связь между косинусом разности углов и тригонометрическими функциями (синусом и косинусом) каждого из этих углов. Формула гласит, что косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов плюс произведение синусов этих углов. Математическая запись формулы выглядит следующим образом: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
Ответ: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$

б) Формула косинуса суммы двух углов, $\alpha$ и $\beta$, также является основной тригонометрической формулой. Её можно легко вывести из формулы косинуса разности, представив сумму $\alpha + \beta$ как разность $\alpha - (-\beta)$ и применив формулу из пункта (а):
$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha - (-\beta)) = cos(\alpha)cos(-\beta) + sin(\alpha)sin(-\beta)$.
Далее, используя свойства четности функции косинуса ($cos(-x) = cos(x)$) и нечетности функции синуса ($sin(-x) = -sin(x)$), мы приходим к окончательному виду формулы:
$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
Словесно эту формулу можно выразить так: косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.
Ответ: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$