Номер 8.47, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.5*. Примеры использования арктангенса и арккотангенса - номер 8.47, страница 255.

Условие.

8.47 а) $tg \alpha > \frac{1}{3};$

б) $tg \alpha > -\frac{1}{4};$

в) $tg \alpha > 2;$

г) $tg \alpha < 3;$

д) $ctg \alpha > -\frac{1}{2};$

е) $ctg \alpha < \frac{1}{3};$

ж) $ctg \alpha > 3;$

з) $ctg \alpha < 2;$

и) $ctg \alpha > 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Общее решение неравенства вида $tg \alpha > a$ записывается как $arctg(a) + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = \frac{1}{3}$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение для данного неравенства.
Ответ: $arctg(\frac{1}{3}) + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Общее решение неравенства вида $tg \alpha > a$ записывается как $arctg(a) + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = -\frac{1}{4}$. Подставляем это значение: $arctg(-\frac{1}{4}) + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n$. Используя свойство нечетности арктангенса $arctg(-x) = -arctg(x)$, получаем окончательный вид.
Ответ: $-arctg(\frac{1}{4}) + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Общее решение неравенства вида $tg \alpha > a$ записывается как $arctg(a) + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = 2$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение.
Ответ: $arctg(2) + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Общее решение неравенства вида $tg \alpha < a$ записывается как $-\frac{\pi}{2} + \pi n < \alpha < arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = 3$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение для данного неравенства.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < \alpha < arctg(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Общее решение неравенства вида $ctg \alpha > a$ записывается как $\pi n < \alpha < arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = -\frac{1}{2}$. Подставляем это значение: $\pi n < \alpha < arcctg(-\frac{1}{2}) + \pi n$. Используя свойство арккотангенса $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$, получаем окончательный вид.
Ответ: $\pi n < \alpha < \pi - arcctg(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) Общее решение неравенства вида $ctg \alpha < a$ записывается как $arcctg(a) + \pi n < \alpha < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = \frac{1}{3}$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение.
Ответ: $arcctg(\frac{1}{3}) + \pi n < \alpha < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) Общее решение неравенства вида $ctg \alpha > a$ записывается как $\pi n < \alpha < arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = 3$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение.
Ответ: $\pi n < \alpha < arcctg(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з) Общее решение неравенства вида $ctg \alpha < a$ записывается как $arcctg(a) + \pi n < \alpha < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = 2$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение.
Ответ: $arcctg(2) + \pi n < \alpha < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и) Общее решение неравенства вида $ctg \alpha > a$ записывается как $\pi n < \alpha < arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = 2$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение.
Ответ: $\pi n < \alpha < arcctg(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.