Номер 8.43, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.4*. Арккотангенс - номер 8.43, страница 249.

Условие.

8.43 Найдите все углы $\alpha$, для каждого из которых:

а) $\ctg \alpha = 0$;

б) $\ctg \alpha = 1$;

в) $\ctg \alpha = -1$;

г) $\ctg \alpha = \sqrt{3}$;

д) $\ctg \alpha = -\sqrt{3}$;

е) $\ctg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

ж) $\ctg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

з) $\ctg \alpha = 2$;

и) $\ctg \alpha = -3$;

к) $\ctg \alpha = 4$;

л) $\ctg \alpha = \frac{1}{2}$;

м) $\ctg \alpha = -\frac{2}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Общее решение уравнения $ctg\,\alpha = a$ дается формулой $\alpha = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Для уравнения $ctg\,\alpha = 0$, имеем $a=0$. Значение $arcctg(0)$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен нулю. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, общее решение имеет вид $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Для уравнения $ctg\,\alpha = 1$, имеем $a=1$. Значение $arcctg(1)$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Для уравнения $ctg\,\alpha = -1$, имеем $a=-1$. Для нахождения $arcctg(-1)$ используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Получаем $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Для уравнения $ctg\,\alpha = \sqrt{3}$, имеем $a=\sqrt{3}$. Значение $arcctg(\sqrt{3})$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Для уравнения $ctg\,\alpha = -\sqrt{3}$, имеем $a=-\sqrt{3}$. Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Получаем $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) Для уравнения $ctg\,\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, имеем $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение $arcctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) Для уравнения $ctg\,\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеем $a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Получаем $arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - arcctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з) Для уравнения $ctg\,\alpha = 2$, значение $a=2$ не является табличным для котангенса. Поэтому решение записывается с использованием функции арккотангенс. Общее решение: $\alpha = arcctg(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = arcctg(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и) Для уравнения $ctg\,\alpha = -3$, значение $a=-3$ не является табличным. Решение записывается с использованием функции арккотангенс. Общее решение: $\alpha = arcctg(-3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = arcctg(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) Для уравнения $ctg\,\alpha = 4$, значение $a=4$ не является табличным. Решение записывается с использованием функции арккотангенс. Общее решение: $\alpha = arcctg(4) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = arcctg(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л) Для уравнения $ctg\,\alpha = \frac{1}{2}$, значение $a=\frac{1}{2}$ не является табличным. Решение записывается с использованием функции арккотангенс. Общее решение: $\alpha = arcctg\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = arcctg\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м) Для уравнения $ctg\,\alpha = -\frac{2}{3}$, значение $a=-\frac{2}{3}$ не является табличным. Решение записывается с использованием функции арккотангенс. Общее решение: $\alpha = arcctg\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = arcctg\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.