Номер 8.45, страница 254 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.5*. Примеры использования арктангенса и арккотангенса. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.45, страница 254.

Найдите все такие углы $\alpha$, для каждого из которых (8.45–8.47):

8.45

а) $tg \alpha > 1;$

б) $tg \alpha < 1;$

в) $tg \alpha > \frac{\sqrt{3}}{3};$

г) $tg \alpha < \frac{\sqrt{3}}{3};$

д) $tg \alpha > \sqrt{3};$

е) $tg \alpha < \sqrt{3};$

ж) $tg \alpha > -1;$

з) $tg \alpha < -1;$

и) $tg \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{3};$

к) $tg \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{3};$

л) $tg \alpha > -\sqrt{3};$

м) $tg \alpha < -\sqrt{3}.$

а) б) в) г) д) е) ж) з) Рис. 128

а)

Чтобы решить неравенство $tg \alpha > 1$, сначала найдем значение угла $\alpha$, для которого $tg \alpha = 1$. Основное решение этого уравнения (арктангенс) — это $\alpha = arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Функция $y = tg \alpha$ является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, неравенство $tg \alpha > 1$ будет выполняться для углов $\alpha$, которые больше $\frac{\pi}{4}$, но ограничены ближайшей точкой разрыва функции, то есть $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, на одном периоде решение — это интервал $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Добавляя период тангенса $\pi n$, получаем общее решение.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Решаем неравенство $tg \alpha < 1$. Как и в предыдущем пункте, граничное значение угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Поскольку функция $y = tg \alpha$ возрастающая, неравенство $tg \alpha < 1$ будет выполняться для углов $\alpha$, меньших $\frac{\pi}{4}$. На основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ это соответствует значениям от левой границы интервала до $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, на одном периоде решение — это интервал $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

С учетом периодичности получаем общее решение.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решаем неравенство $tg \alpha > \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим угол, для которого $tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это $\alpha = arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

В силу возрастания функции тангенса, неравенство $tg \alpha > \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется для углов, больших $\frac{\pi}{6}$ и до асимптоты $\frac{\pi}{2}$.

Решение на одном периоде: $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Общее решение с учетом периода $\pi n$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Решаем неравенство $tg \alpha < \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Граничный угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Неравенство выполняется для углов, меньших $\frac{\pi}{6}$.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{6}$.

Общее решение с учетом периода $\pi n$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Решаем неравенство $tg \alpha > \sqrt{3}$.

Находим угол, для которого $tg \alpha = \sqrt{3}$. Это $\alpha = arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Неравенство выполняется для углов, больших $\frac{\pi}{3}$ и до асимптоты $\frac{\pi}{2}$.

Решение на одном периоде: $\frac{\pi}{3} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Общее решение с учетом периода $\pi n$.

Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е)

Решаем неравенство $tg \alpha < \sqrt{3}$.

Граничный угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Неравенство выполняется для углов, меньших $\frac{\pi}{3}$.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.

Общее решение с учетом периода $\pi n$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж)

Решаем неравенство $tg \alpha > -1$.

Находим угол, для которого $tg \alpha = -1$. Это $\alpha = arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Неравенство выполняется для углов, больших $-\frac{\pi}{4}$ и до асимптоты $\frac{\pi}{2}$.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Общее решение с учетом периода $\pi n$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з)

Решаем неравенство $tg \alpha < -1$.

Граничный угол $\alpha = -\frac{\pi}{4}$. Неравенство выполняется для углов, меньших $-\frac{\pi}{4}$.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{2} < \alpha < -\frac{\pi}{4}$.

Общее решение с учетом периода $\pi n$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < \alpha < -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и)

Решаем неравенство $tg \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим угол, для которого $tg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это $\alpha = arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Неравенство выполняется для углов, больших $-\frac{\pi}{6}$ и до асимптоты $\frac{\pi}{2}$.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Общее решение с учетом периода $\pi n$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к)

Решаем неравенство $tg \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Граничный угол $\alpha = -\frac{\pi}{6}$. Неравенство выполняется для углов, меньших $-\frac{\pi}{6}$.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{2} < \alpha < -\frac{\pi}{6}$.

Общее решение с учетом периода $\pi n$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < \alpha < -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л)

Решаем неравенство $tg \alpha > -\sqrt{3}$.

Находим угол, для которого $tg \alpha = -\sqrt{3}$. Это $\alpha = arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Неравенство выполняется для углов, больших $-\frac{\pi}{3}$ и до асимптоты $\frac{\pi}{2}$.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{3} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Общее решение с учетом периода $\pi n$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + \pi n < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м)

Решаем неравенство $tg \alpha < -\sqrt{3}$.

Граничный угол $\alpha = -\frac{\pi}{3}$. Неравенство выполняется для углов, меньших $-\frac{\pi}{3}$.

Решение на одном периоде: $-\frac{\pi}{2} < \alpha < -\frac{\pi}{3}$.

Общее решение с учетом периода $\pi n$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < \alpha < -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.