Номер 8.46, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.5*. Примеры использования арктангенса и арккотангенса - номер 8.46, страница 255.

Условие.

8.46 a) $ctg \alpha > 1$;

б) $ctg \alpha < 1$;

в) $ctg \alpha > \frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $ctg \alpha < \frac{\sqrt{3}}{3}$;

д) $ctg \alpha > \sqrt{3}$;

е) $ctg \alpha < \sqrt{3}$;

ж) $ctg \alpha > -1$;

з) $ctg \alpha < -1$;

и) $ctg \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

к) $ctg \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

л) $ctg \alpha > -\sqrt{3}$;

м) $ctg \alpha < -\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для решения неравенства $ctg \alpha > 1$ воспользуемся свойствами функции котангенс. Функция $y = ctg(\alpha)$ является убывающей на своем основном промежутке $(0; \pi)$ и имеет период $\pi$. Найдем значение $arcctg(1)$, которое равно $\frac{\pi}{4}$. Поскольку функция убывающая, неравенство $ctg \alpha > 1$ выполняется для углов $\alpha$, меньших $\frac{\pi}{4}$ на основном промежутке. С учетом области определения, получаем $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$. Обобщая на все периоды, получаем общее решение.
Ответ: $\pi k < \alpha < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для неравенства $ctg \alpha < 1$ используем значение $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$. Так как функция $y = ctg(\alpha)$ убывает, на основном промежутке $(0; \pi)$ неравенство выполняется при $\alpha > \frac{\pi}{4}$. Таким образом, решение на этом промежутке: $\frac{\pi}{4} < \alpha < \pi$. Учитывая периодичность, общее решение записывается как $\frac{\pi}{4} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $ctg \alpha > \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{3}$. В силу убывания функции котангенса на интервале $(0; \pi)$, неравенство выполняется при $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$. Общее решение с учетом периода $\pi$ имеет вид $\pi k < \alpha < \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi k < \alpha < \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для неравенства $ctg \alpha < \frac{\sqrt{3}}{3}$ используем $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$. На основном интервале $(0; \pi)$ решение соответствует условию $\alpha > \frac{\pi}{3}$, то есть $\frac{\pi}{3} < \alpha < \pi$. Общее решение неравенства: $\frac{\pi}{3} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $ctg \alpha > \sqrt{3}$. Найдем $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$. Так как котангенс — убывающая функция, на интервале $(0, \pi)$ неравенство выполняется для $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$. Общее решение с учетом периодичности: $\pi k < \alpha < \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi k < \alpha < \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Для неравенства $ctg \alpha < \sqrt{3}$ воспользуемся значением $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$. На основном периоде $(0, \pi)$ неравенство выполняется для углов $\alpha > \frac{\pi}{6}$, то есть $\frac{\pi}{6} < \alpha < \pi$. Общее решение: $\frac{\pi}{6} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж) Решим неравенство $ctg \alpha > -1$. Для отрицательных значений аргумента используется формула $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Таким образом, $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. На интервале $(0, \pi)$ неравенство $ctg \alpha > -1$ выполняется при $0 < \alpha < \frac{3\pi}{4}$. Общее решение: $\pi k < \alpha < \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi k < \alpha < \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з) Для неравенства $ctg \alpha < -1$ используем $arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$. На основном интервале $(0, \pi)$, неравенство выполняется для углов $\alpha > \frac{3\pi}{4}$, то есть $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$. Общее решение: $\frac{3\pi}{4} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

и) Решим неравенство $ctg \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Найдем $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. На интервале $(0, \pi)$ неравенство выполняется для $0 < \alpha < \frac{2\pi}{3}$. Общее решение: $\pi k < \alpha < \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi k < \alpha < \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

к) Для неравенства $ctg \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{3}$ используем $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3}$. На основном интервале $(0, \pi)$ решение соответствует $\alpha > \frac{2\pi}{3}$, то есть $\frac{2\pi}{3} < \alpha < \pi$. Общее решение: $\frac{2\pi}{3} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

л) Решим неравенство $ctg \alpha > -\sqrt{3}$. Найдем $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. На интервале $(0, \pi)$ неравенство $ctg \alpha > -\sqrt{3}$ выполняется при $0 < \alpha < \frac{5\pi}{6}$. Общее решение: $\pi k < \alpha < \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi k < \alpha < \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

м) Для неравенства $ctg \alpha < -\sqrt{3}$ используем $arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$. На основном интервале $(0, \pi)$ неравенство выполняется для углов $\alpha > \frac{5\pi}{6}$, то есть $\frac{5\pi}{6} < \alpha < \pi$. Общее решение: $\frac{5\pi}{6} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6} + \pi k < \alpha < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.