Номер 8.37, страница 248 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.4*. Арккотангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.37, страница 248.

8.37° Назовите угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен:

а) 1;

б) 0;

в) -1;

г) $\sqrt{3}$;

д) $-\sqrt{3}$;

е) $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

ж) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = 1$.

Искомый угол является значением арккотангенса от 1. По определению, $\alpha = \mathrm{arcctg}(1)$. Так как значение котангенса положительное ($1 > 0$), угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$. Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что $\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Поскольку $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$, это и есть искомый угол.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = 0$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(0)$. Котангенс равен нулю, когда косинус угла равен нулю, а синус не равен нулю. В промежутке $(0; \pi)$ это условие выполняется для угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Проверим: $\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$. Угол $\frac{\pi}{2}$ принадлежит заданному промежутку.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = -1$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(-1)$. Так как значение котангенса отрицательное ($-1 < 0$), угол $\alpha$ находится во второй четверти, то есть $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$. Для нахождения значения арккотангенса отрицательного числа используем формулу: $\mathrm{arcctg}(-x) = \pi - \mathrm{arcctg}(x)$. В нашем случае: $\alpha = \mathrm{arcctg}(-1) = \pi - \mathrm{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

г) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = \sqrt{3}$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(\sqrt{3})$. Так как значение котангенса положительное ($\sqrt{3} > 0$), угол $\alpha$ находится в первой четверти. Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

д) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = -\sqrt{3}$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3})$. Так как значение котангенса отрицательное ($-\sqrt{3} < 0$), угол $\alpha$ находится во второй четверти. Используем формулу $\mathrm{arcctg}(-x) = \pi - \mathrm{arcctg}(x)$. Получаем: $\alpha = \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \mathrm{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

е) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как значение котангенса положительное ($\frac{\sqrt{3}}{3} > 0$), угол $\alpha$ находится в первой четверти. Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

ж) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как значение котангенса отрицательное ($-\frac{\sqrt{3}}{3} < 0$), угол $\alpha$ находится во второй четверти. Используем формулу $\mathrm{arcctg}(-x) = \pi - \mathrm{arcctg}(x)$. Получаем: $\alpha = \mathrm{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \mathrm{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.