Номер 8.32, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.3. Арктангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.32, страница 245.

Вычислите (8.32–8.33):

8.32

a) $ \text{tg} (\text{arctg} 1) $;

б) $ \text{tg} (\text{arctg} 2) $;

в) $ \text{tg} (\text{arctg} (-3)) $;

г) $ \text{tg} (\text{arctg} \pi) $;

д) $ \text{tg} (\text{arctg} \sqrt{3}) $;

е) $ \text{tg} \left(\text{arctg} \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $;

ж) $ \text{tg} (\text{arctg} 1999) $;

з) $ \text{tg} (\text{arctg} (-2000)) $.

Для решения всех пунктов этого задания используется основное тождество, связывающее тангенс и арктангенс.

По определению, арктангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arctg}(a)$, — это угол $\alpha$, принадлежащий интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. То есть, если $\alpha = \text{arctg}(a)$, то $\text{tg}(\alpha) = a$.

Подставив в последнее равенство вместо $\alpha$ его выражение через арктангенс, мы получаем тождество: $\text{tg}(\text{arctg}(a)) = a$.

Это тождество справедливо для любого действительного числа $a$, так как область определения функции арктангенс — это все действительные числа ($\mathbb{R}$). Далее мы применим это тождество к каждому из выражений.

а) В выражении $\text{tg}(\text{arctg } 1)$ имеем $a = 1$. Согласно тождеству $\text{tg}(\text{arctg}(a)) = a$, получаем: $\text{tg}(\text{arctg } 1) = 1$.

Ответ: $1$.

б) В выражении $\text{tg}(\text{arctg } 2)$ имеем $a = 2$. Согласно тому же тождеству, получаем: $\text{tg}(\text{arctg } 2) = 2$.

Ответ: $2$.

в) Здесь $a = -3$. Применяя тождество $\text{tg}(\text{arctg}(a)) = a$, находим: $\text{tg}(\text{arctg}(-3)) = -3$.

Ответ: $-3$.

г) В данном случае $a = \pi$. Используя тождество, получаем: $\text{tg}(\text{arctg } \pi) = \pi$.

Ответ: $\pi$.

д) Здесь аргумент $a = \sqrt{3}$. По тождеству $\text{tg}(\text{arctg}(a)) = a$ имеем: $\text{tg}(\text{arctg } \sqrt{3}) = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

е) В этом выражении $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Применяем тождество: $\text{tg}\left(\text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

ж) Здесь $a = 1999$. Согласно тождеству $\text{tg}(\text{arctg}(a)) = a$, получаем: $\text{tg}(\text{arctg } 1999) = 1999$.

Ответ: $1999$.

з) В последнем выражении $a = -2000$. Используя тождество, находим: $\text{tg}(\text{arctg}(-2000)) = -2000$.

Ответ: $-2000$.