Номер 8.26, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.26, страница 243.

8.26 Докажите справедливость равенства:

a) $\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = 2 (1 + \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha)$;

б) $\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = 2 (1 + \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha)$.

а)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)$.

$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{(1 - \cos \alpha)(1 - \sin \alpha) + (1 + \cos \alpha)(1 + \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}$

Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$

Теперь раскроем скобки и упростим числитель:

$(1 - \cos \alpha)(1 - \sin \alpha) + (1 + \cos \alpha)(1 + \sin \alpha) = $

$= (1 - \sin \alpha - \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) + (1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) = $

$= 1 - \sin \alpha - \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = 2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$\frac{2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{2}{\cos^2 \alpha} + \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2}{\cos^2 \alpha} + \frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha}$

Используя тождества $\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \text{tg}^2 \alpha$ и $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha$, получаем:

$2(1 + \text{tg}^2 \alpha) + 2 \text{tg} \alpha = 2 + 2 \text{tg}^2 \alpha + 2 \text{tg} \alpha = 2(1 + \text{tg} \alpha + \text{tg}^2 \alpha)$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)$.

$\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{(1 - \sin \alpha)(1 - \cos \alpha) + (1 + \sin \alpha)(1 + \cos \alpha)}{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}$

Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$

Теперь раскроем скобки и упростим числитель (он совпадает с числителем из пункта а):

$(1 - \sin \alpha)(1 - \cos \alpha) + (1 + \sin \alpha)(1 + \cos \alpha) = $

$= (1 - \cos \alpha - \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) + (1 + \cos \alpha + \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) = 2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$\frac{2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{2}{\sin^2 \alpha} + \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2}{\sin^2 \alpha} + \frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha}$

Используя тождества $\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \text{ctg}^2 \alpha$ и $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha$, получаем:

$2(1 + \text{ctg}^2 \alpha) + 2 \text{ctg} \alpha = 2 + 2 \text{ctg}^2 \alpha + 2 \text{ctg} \alpha = 2(1 + \text{ctg} \alpha + \text{ctg}^2 \alpha)$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: Равенство доказано.