Номер 8.24, страница 242 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.24, страница 242.

8.24 a) $\sin \beta \operatorname{ctg} \beta$;

б) $\operatorname{tg} \alpha : \operatorname{ctg} \alpha$;

В) $\sin \beta : \operatorname{tg} \beta$;

Г) $\cos \alpha \operatorname{tg} \alpha$;

Д) $\cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)$;

е) $1 - \sin^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$;

ж) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}$;

з) $\frac{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}$.

а)

Чтобы упростить выражение $ \sin \beta \operatorname{ctg} \beta $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, определяющим котангенс: $ \operatorname{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $.

Подставим это определение в исходное выражение:

$ \sin \beta \operatorname{ctg} \beta = \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $

Сократим $ \sin \beta $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin \beta \neq 0 $):

$ \frac{\sin \beta \cdot \cos \beta}{\sin \beta} = \cos \beta $

Ответ: $ \cos \beta $

б)

Нужно упростить выражение $ \operatorname{tg} \alpha : \operatorname{ctg} \alpha $, что эквивалентно дроби $ \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} $.

Используем тождество, связывающее тангенс и котангенс: $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $.

Подставим это в знаменатель дроби:

$ \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей:

$ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha $

Ответ: $ \operatorname{tg}^2 \alpha $

в)

Упростим выражение $ \sin \beta : \operatorname{tg} \beta $, или $ \frac{\sin \beta}{\operatorname{tg} \beta} $.

Воспользуемся определением тангенса: $ \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $.

Подставим это в знаменатель:

$ \frac{\sin \beta}{\frac{\sin \beta}{\cos \beta}} $

Разделим на дробь, умножив на обратную:

$ \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \cos \beta $

Ответ: $ \cos \beta $

г)

Упростим выражение $ \cos \alpha \operatorname{tg} \alpha $.

Используем определение тангенса: $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.

Подставим в выражение:

$ \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

Сократим $ \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):

$ \sin \alpha $

Ответ: $ \sin \alpha $

д)

Упростим выражение $ \cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) $.

Используем одно из основных тригонометрических тождеств: $ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

Сокращаем $ \cos^2 \alpha $:

$ 1 $

Ответ: $ 1 $

е)

Упростим выражение $ 1 - \sin^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

Сначала воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.

Выражение принимает вид: $ \cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

Теперь используем определение котангенса: $ \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Подставим его в выражение:

$ \cos^2 \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha $

Сократим $ \sin^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha $

Ответ: $ 2\cos^2 \alpha $

ж)

Упростим дробное выражение $ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta} $.

Преобразуем знаменатель, выразив котангенсы через тангенсы: $ \operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} $.

$ \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} + \frac{1}{\operatorname{tg} \beta} $

Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю:

$ \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} + \frac{1}{\operatorname{tg} \beta} = \frac{\operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $

Теперь подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}} $

Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):

$ (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) \cdot \frac{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} $

Сократим одинаковые множители $ (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) $:

$ \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta $

Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta $

з)

Упростим выражение $ \frac{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha} $.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус.

Числитель: $ \cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Вынесем $ \cos^2 \alpha $ за скобки: $ \cos^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) = \cos^2 \alpha \left(\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}\right) $.

Используя тождество $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $, получаем: $ \cos^2 \alpha \left(\frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right) = -\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Знаменатель: $ \sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.

Вынесем $ \sin^2 \alpha $ за скобки: $ \sin^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha}\right) $.

Используя тождество $ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $, получаем: $ \sin^2 \alpha \left(\frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) = -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{-\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} = \frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha} $

По определению котангенса, $ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha $, следовательно:

$ \frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha} = \operatorname{ctg}^6 \alpha $

Ответ: $ \operatorname{ctg}^6 \alpha $