Номер 8.18, страница 241 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.18, страница 241.

Упростите выражение¹ (8.18–8.20):

8.18

а) $\frac{\operatorname{tg}(\alpha+\pi)-\operatorname{tg}(\beta+2\pi)}{\operatorname{ctg}(-\beta)-\operatorname{ctg}(-\alpha)}$; б) $\frac{\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)+\operatorname{tg}(-\alpha)}{\operatorname{ctg}(\alpha+3\pi)-\operatorname{tg}(\alpha+2\pi)}$

а)

Упростим выражение $ \frac{\tg(\alpha + \pi) - \tg(\beta + 2\pi)}{\ctg(-\beta) - \ctg(-\alpha)} $.

Для упрощения воспользуемся свойствами периодичности и четности/нечетности тригонометрических функций.

1. Период тангенса равен $\pi$, поэтому, согласно формулам приведения, $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$.

2. Период тангенса равен $\pi$, а $2\pi$ является кратным периоду ($2\pi = 2 \cdot \pi$). Следовательно, $\tg(\beta + 2\pi) = \tg(\beta)$.

3. Котангенс является нечетной функцией, поэтому $\ctg(-\beta) = -\ctg(\beta)$ и $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$.

Подставим эти упрощенные выражения в исходную дробь: $$ \frac{\tg(\alpha) - \tg(\beta)}{(-\ctg(\beta)) - (-\ctg(\alpha))} = \frac{\tg(\alpha) - \tg(\beta)}{\ctg(\alpha) - \ctg(\beta)} $$

Теперь воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $\ctg(x) = \frac{1}{\tg(x)}$.

Подставим это в знаменатель: $$ \frac{\tg(\alpha) - \tg(\beta)}{\frac{1}{\tg(\alpha)} - \frac{1}{\tg(\beta)}} $$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю: $$ \frac{\tg(\alpha) - \tg(\beta)}{\frac{\tg(\beta) - \tg(\alpha)}{\tg(\alpha)\tg(\beta)}} $$

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную ей: $$ (\tg(\alpha) - \tg(\beta)) \cdot \frac{\tg(\alpha)\tg(\beta)}{\tg(\beta) - \tg(\alpha)} $$

Заметим, что $\tg(\beta) - \tg(\alpha) = -(\tg(\alpha) - \tg(\beta))$. Подставим это в выражение: $$ (\tg(\alpha) - \tg(\beta)) \cdot \frac{\tg(\alpha)\tg(\beta)}{-(\tg(\alpha) - \tg(\beta))} $$

Сократим дробь на $(\tg(\alpha) - \tg(\beta))$, предполагая, что $\alpha \neq \beta + k\pi$, где $k$ - целое число: $$ \frac{\tg(\alpha)\tg(\beta)}{-1} = -\tg(\alpha)\tg(\beta) $$

Ответ: $-\tg(\alpha)\tg(\beta)$.

б)

Упростим выражение $ \frac{\ctg(\pi - \alpha) + \tg(-\alpha)}{\ctg(\alpha + 3\pi) - \tg(\alpha + 2\pi)} $.

Воспользуемся формулами приведения, свойствами периодичности и четности/нечетности.

1. По формуле приведения для котангенса, $\ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha)$.

2. Тангенс является нечетной функцией, поэтому $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$.

3. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\ctg(\alpha + 3\pi) = \ctg(\alpha)$.

4. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\tg(\alpha + 2\pi) = \tg(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь: $$ \frac{-\ctg(\alpha) + (-\tg(\alpha))}{\ctg(\alpha) - \tg(\alpha)} = \frac{-(\ctg(\alpha) + \tg(\alpha))}{\ctg(\alpha) - \tg(\alpha)} = -\frac{\ctg(\alpha) + \tg(\alpha)}{\ctg(\alpha) - \tg(\alpha)} $$

Для дальнейшего упрощения выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, $\ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $$ \ctg(\alpha) + \tg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} $$

Знаменатель: $$ \ctg(\alpha) - \tg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} $$

Подставим полученные выражения обратно в дробь: $$ -\frac{\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}}{\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} $$

Сократим дробь на общий множитель $\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ (предполагая, что он не равен нулю): $$ -\frac{1}{\cos(2\alpha)} $$

Ответ: $-\frac{1}{\cos(2\alpha)}$.