Страница 241 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.17 a) Назовите основные формулы для $ \text{tg } \alpha $; для $ \text{ctg } \alpha $. Для каких углов $ \alpha $ они справедливы?

б) Для каких углов $ \alpha $ справедливо равенство $ \text{tg } \alpha \text{ ctg } \alpha = 1 $?

а)

Основная формула для тангенса угла $\alpha$ связывает его с синусом и косинусом этого угла:
$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Эта формула справедлива, когда ее знаменатель $\cos \alpha$ не равен нулю. Косинус обращается в ноль при углах $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ является любым целым числом. Таким образом, область определения тангенса — это все углы $\alpha$, кроме $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Основная формула для котангенса угла $\alpha$ также выражается через синус и косинус:
$ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
Эта формула справедлива, когда ее знаменатель $\sin \alpha$ не равен нулю. Синус обращается в ноль при углах $\alpha = \pi k$, где $k$ является любым целым числом. Таким образом, область определения котангенса — это все углы $\alpha$, кроме $\alpha = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Основная формула для тангенса — $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, она справедлива при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Основная формула для котангенса — $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, она справедлива при $\alpha \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Равенство $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$ является одним из основных тригонометрических тождеств. Оно справедливо для всех углов $\alpha$, для которых обе его части имеют смысл, то есть для которых одновременно определены и $tg \alpha$, и $ctg \alpha$.
Из пункта а) мы знаем, что:
1. $tg \alpha$ определён при $\cos \alpha \neq 0$, то есть $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. $ctg \alpha$ определён при $\sin \alpha \neq 0$, то есть $\alpha \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Если оба эти условия выполняются, то произведение можно записать как:
$tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1$.
Следовательно, равенство справедливо для всех углов $\alpha$, для которых одновременно $\sin \alpha \neq 0$ и $\cos \alpha \neq 0$.
Эти два условия можно объединить в одно: угол $\alpha$ не должен быть кратен $\frac{\pi}{2}$. Это можно записать в виде $\alpha \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: Равенство справедливо для всех углов $\alpha$, таких что $\alpha \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Упростите выражение¹ (8.18–8.20):

8.18

а) $\frac{\operatorname{tg}(\alpha+\pi)-\operatorname{tg}(\beta+2\pi)}{\operatorname{ctg}(-\beta)-\operatorname{ctg}(-\alpha)}$; б) $\frac{\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)+\operatorname{tg}(-\alpha)}{\operatorname{ctg}(\alpha+3\pi)-\operatorname{tg}(\alpha+2\pi)}$

а)

Упростим выражение $ \frac{\tg(\alpha + \pi) - \tg(\beta + 2\pi)}{\ctg(-\beta) - \ctg(-\alpha)} $.

Для упрощения воспользуемся свойствами периодичности и четности/нечетности тригонометрических функций.

1. Период тангенса равен $\pi$, поэтому, согласно формулам приведения, $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$.

2. Период тангенса равен $\pi$, а $2\pi$ является кратным периоду ($2\pi = 2 \cdot \pi$). Следовательно, $\tg(\beta + 2\pi) = \tg(\beta)$.

3. Котангенс является нечетной функцией, поэтому $\ctg(-\beta) = -\ctg(\beta)$ и $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$.

Подставим эти упрощенные выражения в исходную дробь: $$ \frac{\tg(\alpha) - \tg(\beta)}{(-\ctg(\beta)) - (-\ctg(\alpha))} = \frac{\tg(\alpha) - \tg(\beta)}{\ctg(\alpha) - \ctg(\beta)} $$

Теперь воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $\ctg(x) = \frac{1}{\tg(x)}$.

Подставим это в знаменатель: $$ \frac{\tg(\alpha) - \tg(\beta)}{\frac{1}{\tg(\alpha)} - \frac{1}{\tg(\beta)}} $$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю: $$ \frac{\tg(\alpha) - \tg(\beta)}{\frac{\tg(\beta) - \tg(\alpha)}{\tg(\alpha)\tg(\beta)}} $$

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную ей: $$ (\tg(\alpha) - \tg(\beta)) \cdot \frac{\tg(\alpha)\tg(\beta)}{\tg(\beta) - \tg(\alpha)} $$

Заметим, что $\tg(\beta) - \tg(\alpha) = -(\tg(\alpha) - \tg(\beta))$. Подставим это в выражение: $$ (\tg(\alpha) - \tg(\beta)) \cdot \frac{\tg(\alpha)\tg(\beta)}{-(\tg(\alpha) - \tg(\beta))} $$

Сократим дробь на $(\tg(\alpha) - \tg(\beta))$, предполагая, что $\alpha \neq \beta + k\pi$, где $k$ - целое число: $$ \frac{\tg(\alpha)\tg(\beta)}{-1} = -\tg(\alpha)\tg(\beta) $$

Ответ: $-\tg(\alpha)\tg(\beta)$.

б)

Упростим выражение $ \frac{\ctg(\pi - \alpha) + \tg(-\alpha)}{\ctg(\alpha + 3\pi) - \tg(\alpha + 2\pi)} $.

Воспользуемся формулами приведения, свойствами периодичности и четности/нечетности.

1. По формуле приведения для котангенса, $\ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha)$.

2. Тангенс является нечетной функцией, поэтому $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$.

3. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\ctg(\alpha + 3\pi) = \ctg(\alpha)$.

4. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\tg(\alpha + 2\pi) = \tg(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь: $$ \frac{-\ctg(\alpha) + (-\tg(\alpha))}{\ctg(\alpha) - \tg(\alpha)} = \frac{-(\ctg(\alpha) + \tg(\alpha))}{\ctg(\alpha) - \tg(\alpha)} = -\frac{\ctg(\alpha) + \tg(\alpha)}{\ctg(\alpha) - \tg(\alpha)} $$

Для дальнейшего упрощения выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, $\ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $$ \ctg(\alpha) + \tg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} $$

Знаменатель: $$ \ctg(\alpha) - \tg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} $$

Подставим полученные выражения обратно в дробь: $$ -\frac{\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}}{\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} $$

Сократим дробь на общий множитель $\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ (предполагая, что он не равен нулю): $$ -\frac{1}{\cos(2\alpha)} $$

Ответ: $-\frac{1}{\cos(2\alpha)}$.

8.19 a) $\frac{\sin (2\pi - \alpha) \sin (\alpha - \pi) \cos (\alpha - 2\pi)}{\cos (2\pi - \alpha) \operatorname{ctg} (\pi - \alpha) \operatorname{tg} (3\pi - \alpha)};$

б) $\frac{\sin (\pi + \alpha) \sin (\alpha - \pi) \cos (2\pi - \alpha) \operatorname{tg} (3\pi - \alpha)}{\cos (\pi - \alpha) \cos (\alpha - 5\pi) \cos (2\pi + \alpha) \operatorname{tg} (-\alpha - \pi)}.$

а) Упростим выражение $ \frac{\sin(2\pi - \alpha) \sin(\alpha - \pi) \cos(\alpha - 2\pi)}{\cos(2\pi - \alpha) \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) \operatorname{tg}(3\pi - \alpha)} $.

Для этого воспользуемся формулами приведения и свойствами тригонометрических функций. Преобразуем каждый множитель:

• $ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол в IV четверти, синус отрицательный).

• $ \sin(\alpha - \pi) = \sin(-(\pi - \alpha)) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (используем нечетность синуса и формулу приведения для II четверти).

• $ \cos(\alpha - 2\pi) = \cos(\alpha) $ (используем периодичность косинуса, период $2\pi$).

• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $ (угол в IV четверти, косинус положительный).

• $ \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha) $ (угол во II четверти, котангенс отрицательный).

• $ \operatorname{tg}(3\pi - \alpha) = \operatorname{tg}(2\pi + \pi - \alpha) = \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $ (используем периодичность тангенса, период $\pi$).

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha)) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha))} = \frac{\sin^2(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot (\operatorname{ctg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha))} $

Мы знаем, что $ \operatorname{ctg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha) = 1 $ (при условии, что $ \alpha \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $). Значит, знаменатель равен $ \cos(\alpha) $.

Получаем:

$ \frac{\sin^2(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

Сокращаем $ \cos(\alpha) $ (при условии $ \cos(\alpha) \neq 0 $):

$ \sin^2(\alpha) $

Ответ: $ \sin^2(\alpha) $

б) Упростим выражение $ \frac{\sin(\pi + \alpha) \sin(\alpha - \pi) \cos(2\pi - \alpha) \operatorname{tg}(3\pi - \alpha)}{\cos(\pi - \alpha) \cos(\alpha - 5\pi) \cos(2\pi + \alpha) \operatorname{tg}(-\alpha - \pi)} $.

Преобразуем каждый множитель, используя формулы приведения и свойства периодичности.

• $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (III четверть).

• $ \sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $.

• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $.

• $ \operatorname{tg}(3\pi - \alpha) = \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $.

• $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (II четверть).

• $ \cos(\alpha - 5\pi) = \cos(\alpha - \pi - 4\pi) = \cos(\alpha - \pi) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.

• $ \cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha) $.

• $ \operatorname{tg}(-\alpha - \pi) = \operatorname{tg}(-(\pi + \alpha)) = -\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $.

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$ \frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha))}{(-\cos(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha))} = \frac{-\sin^2(\alpha) \cos(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha)}{-\cos^3(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha)} $

Сокращаем общие множители (при условии, что они не равны нулю):

$ \frac{\sin^2(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos^3(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} $

По определению тангенса $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, следовательно:

$ \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = (\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)})^2 = \operatorname{tg}^2(\alpha) $

Ответ: $ \operatorname{tg}^2(\alpha) $