Страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.11 a) $tg \alpha = -1$;

б) $tg \alpha = -2$;

в) $tg \alpha = -3$;

г) $tg \alpha = -4$;

д) $tg \alpha = -\frac{1}{2}$;

е) $tg \alpha = -\frac{1}{3}$.

а) Для решения уравнения вида $ \tg \alpha = a $ используется общая формула $ \alpha = \arctan(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В данном случае дано уравнение $ \tg \alpha = -1 $, следовательно, $ a = -1 $. Подставим это значение в формулу: $ \alpha = \arctan(-1) + \pi k $. Поскольку $ \arctan(-1) $ является табличным значением и равно $ -\frac{\pi}{4} $, получаем окончательное решение.
Ответ: $ \alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Для уравнения $ \tg \alpha = -2 $ применяем ту же общую формулу $ \alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = -2 $. Решение имеет вид $ \alpha = \arctan(-2) + \pi k $. Так как -2 не является стандартным табличным значением для тангенса, ответ принято оставлять в таком виде. Используя свойство нечетности арктангенса, $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $, можно записать решение как $ \alpha = -\arctan(2) + \pi k $.
Ответ: $ \alpha = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) В уравнении $ \tg \alpha = -3 $ значение $ a = -3 $. По общей формуле $ \alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ получаем $ \alpha = \arctan(-3) + \pi k $. Применяя свойство нечетности арктангенса, $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $, получаем окончательный вид решения.
Ответ: $ \alpha = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) В уравнении $ \tg \alpha = -4 $ значение $ a = -4 $. По общей формуле $ \alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ получаем $ \alpha = \arctan(-4) + \pi k $. Применяя свойство нечетности арктангенса, $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $, получаем окончательный вид решения.
Ответ: $ \alpha = -\arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

д) В уравнении $ \tg \alpha = -\frac{1}{2} $ значение $ a = -\frac{1}{2} $. По общей формуле $ \alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ получаем $ \alpha = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k $. Применяя свойство нечетности арктангенса, $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $, получаем окончательный вид решения.
Ответ: $ \alpha = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

е) В уравнении $ \tg \alpha = -\frac{1}{3} $ значение $ a = -\frac{1}{3} $. По общей формуле $ \alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ получаем $ \alpha = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k $. Применяя свойство нечетности арктангенса, $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $, получаем окончательный вид решения.
Ответ: $ \alpha = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

8.12°

а) Объясните, как можно определить $ctg \alpha$ с помощью оси котангенсов.

б) Для каких углов $\alpha$ существует $ctg \alpha$?

в) Какие значения может принимать $ctg \alpha$?

a) Для определения котангенса угла $\alpha$ с помощью оси котангенсов используется единичная окружность в прямоугольной системе координат. Осью котангенсов называется прямая, которая касается единичной окружности в точке $(0, 1)$ и параллельна оси абсцисс. Уравнение этой прямой: $y=1$.
Чтобы найти $\text{ctg } \alpha$, нужно выполнить следующие действия:
1. На единичной окружности отметить точку $P$, соответствующую углу поворота $\alpha$ (отсчет ведется от точки $(1, 0)$ против часовой стрелки).
2. Провести прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $P$.
3. Найти точку $C$ пересечения этой прямой с осью котангенсов (прямой $y=1$).
4. Абсцисса (координата по оси $x$) точки $C$ и есть значение котангенса угла $\alpha$.
Если прямая $OP$ совпадает с осью абсцисс (что происходит при $\alpha = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$), она параллельна оси котангенсов и не пересекает её. В этом случае $\text{ctg } \alpha$ не определён.
Ответ: Значение $\text{ctg } \alpha$ равно абсциссе точки пересечения прямой, проходящей через начало координат и точку на единичной окружности, соответствующую углу $\alpha$, с прямой $y=1$ (осью котангенсов).

б) Котангенс угла $\alpha$ определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу: $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Дробное выражение определено (существует) только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. Следовательно, для существования котангенса необходимо и достаточно, чтобы $\sin \alpha \neq 0$.
Функция синус равна нулю для углов, конечная сторона которых лежит на оси абсцисс ($Ox$). Это происходит при углах $\alpha = 0, \pi, 2\pi, \dots$ и $\alpha = -\pi, -2\pi, \dots$.
Обобщенно эти углы записываются формулой $\alpha = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $\text{ctg } \alpha$ существует для всех углов $\alpha$, для которых $\alpha \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Область значений функции котангенса — это множество всех значений, которые может принимать $\text{ctg } \alpha$.
Из геометрического определения (см. пункт а), $\text{ctg } \alpha$ — это абсцисса точки на оси котангенсов (прямой $y=1$). Эта прямая является бесконечной числовой осью.
При изменении угла $\alpha$ в интервале $(0, \pi)$ луч, проведенный из начала координат, поворачивается от положительного направления оси $Ox$ к отрицательному. Точка его пересечения с прямой $y=1$ пробегает всю эту прямую.
• При $\alpha \rightarrow 0^+$ (угол стремится к нулю, оставаясь положительным), точка пересечения уходит на бесконечность вправо, то есть $\text{ctg } \alpha \rightarrow +\infty$.
• При $\alpha \rightarrow \pi^-$ (угол стремится к $\pi$, оставаясь меньше $\pi$), точка пересечения уходит на бесконечность влево, то есть $\text{ctg } \alpha \rightarrow -\infty$.
• При $\alpha = \pi/2$, $\text{ctg } (\pi/2) = 0$.
Таким образом, при изменении $\alpha$ от $0$ до $\pi$ (не включая границы), $\text{ctg } \alpha$ принимает все возможные действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: $\text{ctg } \alpha$ может принимать любое действительное значение. Область значений функции $y=\text{ctg } \alpha$ — это множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$.

8.13 Отметьте на оси котангенсов точки, соответствующие числам: $0$; $1$; $-1$; $2$; $-2$; $\sqrt{3}$; $-\sqrt{3}$; $\frac{\sqrt{3}}{3}$; $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Осью котангенсов в тригонометрии называют прямую, которая в стандартной декартовой системе координат задается уравнением $y=1$. Она параллельна оси абсцисс (Ox) и касается единичной окружности в точке $(0, 1)$.

Чтобы отметить на этой оси точку, соответствующую некоторому числу $c$, нужно найти на прямой $y=1$ точку с абсциссой, равной $c$. Таким образом, каждому числу $c$ будет соответствовать точка с координатами $(c, 1)$. Для решения задачи необходимо определить положение каждой такой точки на оси котангенсов.

0

Точка, соответствующая числу 0, имеет координаты $(0, 1)$. Это точка пересечения оси котангенсов с осью ординат (Oy). Эта точка соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$, так как $ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$.

1

Точка, соответствующая числу 1, имеет координаты $(1, 1)$. Она находится на оси котангенсов справа от оси Oy на расстоянии 1. Эта точка соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$, так как $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

-1

Точка, соответствующая числу -1, имеет координаты $(-1, 1)$. Она находится на оси котангенсов слева от оси Oy на расстоянии 1. Эта точка соответствует углу $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, так как $ctg(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

2

Точка, соответствующая числу 2, имеет координаты $(2, 1)$. Она находится на оси котангенсов справа от оси Oy на расстоянии 2.

-2

Точка, соответствующая числу -2, имеет координаты $(-2, 1)$. Она находится на оси котангенсов слева от оси Oy на расстоянии 2.

$\sqrt{3}$

Точка, соответствующая числу $\sqrt{3}$, имеет координаты $(\sqrt{3}, 1)$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, эта точка находится справа от оси Oy на расстоянии примерно 1.732. Она соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{6}$, так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

$-\sqrt{3}$

Точка, соответствующая числу $-\sqrt{3}$, имеет координаты $(-\sqrt{3}, 1)$. Так как $-\sqrt{3} \approx -1.732$, эта точка находится слева от оси Oy на расстоянии примерно 1.732. Она соответствует углу $\alpha = \frac{5\pi}{6}$, так как $ctg(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Точка, соответствующая числу $\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$, эта точка находится справа от оси Oy на расстоянии примерно 0.577. Она соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{3}$, так как $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Точка, соответствующая числу $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеет координаты $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$. Так как $-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577$, эта точка находится слева от оси Oy на расстоянии примерно 0.577. Она соответствует углу $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, так как $ctg(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: На оси котангенсов (прямой $y=1$) нужно отметить точки со следующими абсциссами: -2, $-\sqrt{3}$, -1, $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, 0, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 1, $\sqrt{3}$, 2. В порядке возрастания их значений (слева направо) они будут располагаться так: -2; $-\sqrt{3} \approx -1.73$; -1; $-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.58$; 0; $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58$; 1; $\sqrt{3} \approx 1.73$; 2.

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$, для каждого из которых выполняется равенство (8.14–8.15):

8.14
а) ctg $\alpha$ = 1;
б) ctg $\alpha$ = 2;
в) ctg $\alpha$ = 3;
г) ctg $\alpha$ = 4;
д) ctg $\alpha$ = $\frac{1}{2}$;
е) ctg $\alpha$ = $\frac{1}{3}$.

Для того чтобы отметить точки на единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$, для которых выполняется заданное равенство $\text{ctg } \alpha = c$, необходимо найти координаты $(x, y)$ этих точек. Эти координаты должны удовлетворять системе из двух уравнений:

1. Уравнение единичной окружности: $x^2 + y^2 = 1$.
2. Определение котангенса: $\text{ctg } \alpha = \frac{x}{y} = c$.

Решим эту систему для каждого из заданных случаев.

а) $\text{ctg } \alpha = 1$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $x = y$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$y^2 + y^2 = 1$

$2y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{2}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как $x = y$, то $x$ принимает те же значения: $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем две точки:

• $P_1$, где $x$ и $y$ положительны: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $P_2$, где $x$ и $y$ отрицательны: $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

б) $\text{ctg } \alpha = 2$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения $x = 2y$. Подставляем в первое:

$(2y)^2 + y^2 = 1$

$4y^2 + y^2 = 1$

$5y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{5}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Тогда $x = 2y = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Получаем две точки:

• $P_1 \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$
• $P_2 \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$ и $\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$.

в) $\text{ctg } \alpha = 3$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = 3 \end{cases}$

Из второго уравнения $x = 3y$. Подставляем в первое:

$(3y)^2 + y^2 = 1$

$9y^2 + y^2 = 1$

$10y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{10}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

Тогда $x = 3y = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Получаем две точки:

• $P_1 \left(\frac{3\sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10}\right)$
• $P_2 \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}, -\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10}\right)$ и $\left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}, -\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$.

г) $\text{ctg } \alpha = 4$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения $x = 4y$. Подставляем в первое:

$(4y)^2 + y^2 = 1$

$16y^2 + y^2 = 1$

$17y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{17}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{17}} = \pm \frac{\sqrt{17}}{17}$

Тогда $x = 4y = \pm \frac{4}{\sqrt{17}} = \pm \frac{4\sqrt{17}}{17}$.

Получаем две точки:

• $P_1 \left(\frac{4\sqrt{17}}{17}, \frac{\sqrt{17}}{17}\right)$
• $P_2 \left(-\frac{4\sqrt{17}}{17}, -\frac{\sqrt{17}}{17}\right)$

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{4\sqrt{17}}{17}, \frac{\sqrt{17}}{17}\right)$ и $\left(-\frac{4\sqrt{17}}{17}, -\frac{\sqrt{17}}{17}\right)$.

д) $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{2}$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

Из второго уравнения $x = \frac{1}{2}y$. Подставляем в первое:

$\left(\frac{1}{2}y\right)^2 + y^2 = 1$

$\frac{1}{4}y^2 + y^2 = 1$

$\frac{5}{4}y^2 = 1$

$y^2 = \frac{4}{5}$

$y = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Тогда $x = \frac{1}{2}y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Получаем две точки:

• $P_1 \left(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$
• $P_2 \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$ и $\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$.

е) $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{3}$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \end{cases}$

Из второго уравнения $x = \frac{1}{3}y$. Подставляем в первое:

$\left(\frac{1}{3}y\right)^2 + y^2 = 1$

$\frac{1}{9}y^2 + y^2 = 1$

$\frac{10}{9}y^2 = 1$

$y^2 = \frac{9}{10}$

$y = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$

Тогда $x = \frac{1}{3}y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Получаем две точки:

• $P_1 \left(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$
• $P_2 \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}, -\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$

Ответ: Искомые точки на единичной окружности имеют координаты $\left(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$ и $\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}, -\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$.

8.15 a) $ctg \alpha = -1$;

б) $ctg \alpha = -2$;

в) $ctg \alpha = -3$;

г) $ctg \alpha = -4$;

д) $ctg \alpha = -\frac{1}{2}$;

е) $ctg \alpha = -\frac{1}{3}$.

а)

Дано тригонометрическое уравнение $\text{ctg} \alpha = -1$.
Для решения уравнений вида $\text{ctg} x = a$ используется общая формула: $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$), а $\text{arcctg}(a)$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$.
В данном случае $a = -1$. Подставляем это значение в общую формулу:
$\alpha = \text{arcctg}(-1) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Значение $\text{arcctg}(-1)$ является табличным. Используем свойство арккотангенса $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$:
$\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.
Так как $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, окончательное решение уравнения:
$\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Рассмотрим уравнение $\text{ctg} \alpha = -2$.
Применяя общую формулу для решения уравнений с котангенсом, $x = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, получаем:
$\alpha = \text{arcctg}(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $-2$ не является стандартным значением котангенса, для которого известен угол в радианах, решение оставляют в такой форме, выраженной через арккотангенс.

Ответ: $\alpha = \text{arcctg}(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим уравнение $\text{ctg} \alpha = -3$.
По общей формуле решения $x = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, имеем:
$\alpha = \text{arcctg}(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Это и есть окончательный ответ, так как значение арккотангенса от $-3$ не выражается через простые доли $\pi$.

Ответ: $\alpha = \text{arcctg}(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\text{ctg} \alpha = -4$.
Решение находится по стандартной формуле $x = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$:
$\alpha = \text{arcctg}(-4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Так как $-4$ не является табличным значением для котангенса, ответ записывается с использованием функции арккотангенса.

Ответ: $\alpha = \text{arcctg}(-4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Рассмотрим уравнение $\text{ctg} \alpha = -\frac{1}{2}$.
Используя общую формулу для решений уравнений вида $\text{ctg} x = a$, которая гласит $x = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, получаем:
$\alpha = \text{arcctg}(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Это является полным решением уравнения.

Ответ: $\alpha = \text{arcctg}(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим уравнение $\text{ctg} \alpha = -\frac{1}{3}$.
Общее решение данного типа уравнений записывается как $x = \text{arcctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Подставляя $a = -\frac{1}{3}$, находим:
$\alpha = \text{arcctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Это и есть искомое множество решений.

Ответ: $\alpha = \text{arcctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8.16 Сравните:

а) $\operatorname{tg} 60^{\circ}$ и $\operatorname{tg} 30^{\circ}$;

б) $\operatorname{ctg} 60^{\circ}$ и $\operatorname{ctg} 30^{\circ}$;

в) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$ и $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}$;

г) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}$ и $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3}$;

д) $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{tg} 2$;

е) $\operatorname{tg} 2$ и $\operatorname{tg} 3$;

ж) $\operatorname{ctg} 1$ и $\operatorname{ctg} 2$;

з) $\operatorname{ctg} 2$ и $\operatorname{ctg} 3$;

и) $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{ctg} 2$.

а) Углы $30^\circ$ и $60^\circ$ принадлежат первой четверти, то есть интервалу $(0^\circ; 90^\circ)$. На этом интервале функция $y = \tg x$ возрастает. Поскольку $60^\circ > 30^\circ$, то и значение тангенса для большего угла будет больше. Также можно сравнить табличные значения: $\tg 60^\circ = \sqrt{3}$ и $\tg 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\tg 60^\circ > \tg 30^\circ$.
Ответ: $\tg 60^\circ > \tg 30^\circ$.

б) Углы $30^\circ$ и $60^\circ$ принадлежат интервалу $(0^\circ; 180^\circ)$. На этом интервале функция $y = \ctg x$ убывает. Поскольку $60^\circ > 30^\circ$, то значение котангенса для большего угла будет меньше. Также можно сравнить табличные значения: $\ctg 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\ctg 30^\circ = \sqrt{3}$. Так как $\frac{1}{\sqrt{3}} < \sqrt{3}$, то $\ctg 60^\circ < \ctg 30^\circ$.
Ответ: $\ctg 60^\circ < \ctg 30^\circ$.

в) Углы $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$ принадлежат первой четверти, то есть интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция $y = \tg x$ возрастает. Поскольку $\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4}$, то $\tg \frac{\pi}{3} > \tg \frac{\pi}{4}$. Сравнивая табличные значения: $\tg \frac{\pi}{4} = 1$ и $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Так как $1 < \sqrt{3}$, то $\tg \frac{\pi}{4} < \tg \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\tg \frac{\pi}{4} < \tg \frac{\pi}{3}$.

г) Углы $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$ принадлежат интервалу $(0; \pi)$. На этом интервале функция $y = \ctg x$ убывает. Поскольку $\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4}$, то $\ctg \frac{\pi}{3} < \ctg \frac{\pi}{4}$. Сравнивая табличные значения: $\ctg \frac{\pi}{4} = 1$ и $\ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $1 > \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\ctg \frac{\pi}{4} > \ctg \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\ctg \frac{\pi}{4} > \ctg \frac{\pi}{3}$.

д) Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Определим, в каких четвертях лежат углы 1 и 2 радиана. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Угол 1 радиан: $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, это первая четверть. Тангенс в первой четверти положителен, значит $\tg 1 > 0$. Угол 2 радиана: $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, это вторая четверть. Тангенс во второй четверти отрицателен, значит $\tg 2 < 0$. Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, $\tg 1 > \tg 2$.
Ответ: $\tg 1 > \tg 2$.

е) Углы 2 и 3 радиана лежат во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 < 3 < \pi \approx 3.14$. Оба угла принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, на котором функция $y = \tg x$ возрастает. Так как $3 > 2$, то $\tg 3 > \tg 2$.
Ответ: $\tg 2 < \tg 3$.

ж) Определим знаки значений функций. Угол 1 радиан лежит в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2}$), поэтому $\ctg 1 > 0$. Угол 2 радиана лежит во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$), поэтому $\ctg 2 < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $\ctg 1 > \ctg 2$.

з) Углы 2 и 3 радиана лежат во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \pi$), то есть на интервале $(0, \pi)$. На этом интервале функция $y = \ctg x$ убывает. Так как $3 > 2$, то $\ctg 3 < \ctg 2$.
Ответ: $\ctg 2 > \ctg 3$.

и) Определим знаки значений функций. Угол 1 радиан лежит в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2}$), поэтому $\tg 1 > 0$. Угол 2 радиана лежит во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$), поэтому $\ctg 2 < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $\tg 1 > \ctg 2$.