Страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.33 a) $\arctg 0$;

б) $\arctg 1$;

в) $\arctg (-1)$;

г) $\arctg \sqrt{3}$;

д) $\arctg (-\sqrt{3})$;

е) $\arctg \frac{\sqrt{3}}{3}$;

ж) $\arctg \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

а)

Арктангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arctg } a$, — это угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Формально: $y = \text{arctg } a \iff \text{tg } y = a$ и $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Требуется найти $\text{arctg } 0$. Для этого нужно найти такой угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что $\text{tg } y = 0$.

Поскольку $\text{tg } y = \frac{\sin y}{\cos y}$, тангенс равен нулю, когда синус равен нулю ($\sin y = 0$).

В интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ единственное значение, при котором синус равен нулю, — это $y=0$.

Следовательно, $\text{arctg } 0 = 0$.

Ответ: $0$

б)

Требуется найти $\text{arctg } 1$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = 1$.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\text{tg } \frac{\pi}{4} = 1$.

Угол $\frac{\pi}{4}$ входит в область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Следовательно, $\text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в)

Требуется найти $\text{arctg } (-1)$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = -1$.

Функция арктангенс является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\text{arctg } (-x) = -\text{arctg } x$.

Применим это свойство: $\text{arctg } (-1) = -\text{arctg } 1$.

Из предыдущего задания известно, что $\text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

Значит, $\text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

г)

Требуется найти $\text{arctg } \sqrt{3}$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = \sqrt{3}$.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Угол $\frac{\pi}{3}$ входит в область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Следовательно, $\text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

д)

Требуется найти $\text{arctg } (-\sqrt{3})$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = -\sqrt{3}$.

Используем свойство нечетности функции арктангенса: $\text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\text{arctg } \sqrt{3}$.

Из предыдущего задания известно, что $\text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.

Значит, $\text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Угол $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

е)

Требуется найти $\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3}$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\text{tg } \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол $\frac{\pi}{6}$ входит в область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Следовательно, $\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

ж)

Требуется найти $\text{arctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используем свойство нечетности функции арктангенса: $\text{arctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из предыдущего задания известно, что $\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$.

Значит, $\text{arctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$.

Угол $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

8.34 Сравните с нулём:

a) $arctg 1$;б) $arctg 2$;в) $arctg 3$;

г) $arctg (-1)$;д) $arctg (-2)$;е) $arctg (-3)$;

ж) $arctg \frac{\pi}{2}$;з) $arctg \pi$;и) $arctg (-\pi)$.

Для того чтобы сравнить значения выражений с нулём, воспользуемся свойствами функции арктангенс $y = \text{arctg } x$.

Функция арктангенс определена для всех действительных чисел $x$, а её область значений — интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Функция является нечётной ($\text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x$) и строго возрастающей на всей области определения. Ключевым свойством для данной задачи является то, что знак значения функции $\text{arctg } x$ совпадает со знаком её аргумента $x$. Это следует из того, что $\text{arctg } 0 = 0$ и функция возрастает:

• Если аргумент $x > 0$, то $\text{arctg } x > \text{arctg } 0$, следовательно, $\text{arctg } x > 0$.
• Если аргумент $x < 0$, то $\text{arctg } x < \text{arctg } 0$, следовательно, $\text{arctg } x < 0$.

Применим это правило для каждого случая.

а) В выражении $\text{arctg } 1$ аргумент равен $1$. Так как $1 > 0$, значение арктангенса будет положительным.
Ответ: $\text{arctg } 1 > 0$.

б) В выражении $\text{arctg } 2$ аргумент равен $2$. Так как $2 > 0$, значение арктангенса будет положительным.
Ответ: $\text{arctg } 2 > 0$.

в) В выражении $\text{arctg } 3$ аргумент равен $3$. Так как $3 > 0$, значение арктангенса будет положительным.
Ответ: $\text{arctg } 3 > 0$.

г) В выражении $\text{arctg } (-1)$ аргумент равен $-1$. Так как $-1 < 0$, значение арктангенса будет отрицательным.
Ответ: $\text{arctg } (-1) < 0$.

д) В выражении $\text{arctg } (-2)$ аргумент равен $-2$. Так как $-2 < 0$, значение арктангенса будет отрицательным.
Ответ: $\text{arctg } (-2) < 0$.

е) В выражении $\text{arctg } (-3)$ аргумент равен $-3$. Так как $-3 < 0$, значение арктангенса будет отрицательным.
Ответ: $\text{arctg } (-3) < 0$.

ж) В выражении $\text{arctg } \frac{\pi}{2}$ аргумент равен $\frac{\pi}{2}$. Число $\pi \approx 3.14159$, поэтому $\frac{\pi}{2} > 0$. Следовательно, значение арктангенса будет положительным.
Ответ: $\text{arctg } \frac{\pi}{2} > 0$.

з) В выражении $\text{arctg } \pi$ аргумент равен $\pi$. Так как $\pi > 0$, значение арктангенса будет положительным.
Ответ: $\text{arctg } \pi > 0$.

и) В выражении $\text{arctg } (-\pi)$ аргумент равен $-\pi$. Так как $-\pi < 0$, значение арктангенса будет отрицательным.
Ответ: $\text{arctg } (-\pi) < 0$.

8.35 Постройте угол:

а) $arctg 1$;

б) $arctg 2$;

в) $arctg 3$;

г) $arctg (-1)$;

д) $arctg (-2)$;

е) $arctg (-3)$;

ж) $arctg \frac{1}{2}$;

з) $arctg \left(-\frac{2}{3}\right)$;

и) $arctg \left(-\frac{1}{4}\right)$.

Для построения угла $\alpha = \arctan(x)$ используется его определение через тангенс в прямоугольном треугольнике: $\tan(\alpha) = x$. В прямоугольной системе координат OXY, угол строится следующим образом: вершина угла находится в начале координат $O(0,0)$, одна сторона угла совпадает с положительным направлением оси $Ox$. Для построения второй стороны, число $x$ представляется в виде дроби $x = \frac{y_0}{x_0}$. Затем на координатной плоскости отмечается точка $P(x_0, y_0)$. Вторая сторона угла — это луч $OP$. Угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом. Если $x > 0$, угол находится в I четверти. Если $x < 0$, угол находится в IV четверти.

а) Для построения угла $\alpha = \arctan 1$, представим $1$ как дробь $\frac{1}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, 1)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{1}{1} = 1$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, 1)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan 1$.

б) Для построения угла $\alpha = \arctan 2$, представим $2$ как дробь $\frac{2}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, 2)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{2}{1} = 2$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, 2)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan 2$.

в) Для построения угла $\alpha = \arctan 3$, представим $3$ как дробь $\frac{3}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, 3)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{3}{1} = 3$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, 3)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan 3$.

г) Для построения угла $\alpha = \arctan (-1)$, представим $-1$ как дробь $\frac{-1}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, -1)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{-1}{1} = -1$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, -1)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan (-1)$.

д) Для построения угла $\alpha = \arctan (-2)$, представим $-2$ как дробь $\frac{-2}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, -2)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{-2}{1} = -2$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, -2)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan (-2)$.

е) Для построения угла $\alpha = \arctan (-3)$, представим $-3$ как дробь $\frac{-3}{1}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(1, -3)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{-3}{1} = -3$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(1, -3)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan (-3)$.

ж) Для построения угла $\alpha = \arctan \frac{1}{2}$, в прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(2, 1)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{1}{2}$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(2, 1)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan \frac{1}{2}$.

з) Для построения угла $\alpha = \arctan \left(-\frac{2}{3}\right)$, представим $-\frac{2}{3}$ как $\frac{-2}{3}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(3, -2)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{-2}{3}$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(3, -2)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan \left(-\frac{2}{3}\right)$.

и) Для построения угла $\alpha = \arctan \left(-\frac{1}{4}\right)$, представим $-\frac{1}{4}$ как $\frac{-1}{4}$. В прямоугольной системе координат строим точку $P$ с координатами $(4, -1)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым, так как его тангенс равен $\frac{-1}{4}$. Ответ: Построить в прямоугольной системе координат точку $P(4, -1)$; угол между положительной полуосью $Ox$ и лучом $OP$ есть $\arctan \left(-\frac{1}{4}\right)$.

8.36 Найдите все углы $\alpha$, для каждого из которых:

a) $tg \alpha = 0;$

б) $tg \alpha = 1;$

в) $tg \alpha = -1;$

г) $tg \alpha = \sqrt{3};$

д) $tg \alpha = -\sqrt{3};$

е) $tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3};$

ж) $tg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

з) $tg \alpha = 2;$

и) $tg \alpha = -3;$

к) $tg \alpha = 5;$

л) $tg \alpha = \frac{1}{2};$

м) $tg \alpha = -\frac{1}{3}.$

Для нахождения всех углов $\alpha$, удовлетворяющих уравнению $tg \alpha = a$, используется общая формула: $\alpha = arctg(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этой формуле $arctg(a)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

а) Для уравнения $tg \alpha = 0$:
Находим главное значение (арктангенс): $arctg(0) = 0$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = 0 + \pi k = \pi k$.
Ответ: $\alpha = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для уравнения $tg \alpha = 1$:
Находим главное значение, это табличное значение: $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для уравнения $tg \alpha = -1$:
Используя свойство нечетности арктангенса $arctg(-x) = -arctg(x)$, находим главное значение: $arctg(-1) = -arctg(1) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для уравнения $tg \alpha = \sqrt{3}$:
Находим главное значение, это табличное значение: $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) Для уравнения $tg \alpha = -\sqrt{3}$:
Находим главное значение: $arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Для уравнения $tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$:
Находим главное значение, это табличное значение: $arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж) Для уравнения $tg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$:
Находим главное значение: $arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з) Для уравнения $tg \alpha = 2$:
Так как $2$ не является табличным значением для тангенса, решение записывается напрямую через общую формулу.
Ответ: $\alpha = arctg(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

и) Для уравнения $tg \alpha = -3$:
Так как $-3$ не является табличным значением, решение записывается напрямую через общую формулу.
Ответ: $\alpha = arctg(-3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

к) Для уравнения $tg \alpha = 5$:
Так как $5$ не является табличным значением, решение записывается напрямую через общую формулу.
Ответ: $\alpha = arctg(5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

л) Для уравнения $tg \alpha = \frac{1}{2}$:
Так как $\frac{1}{2}$ не является табличным значением, решение записывается напрямую через общую формулу.
Ответ: $\alpha = arctg\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

м) Для уравнения $tg \alpha = -\frac{1}{3}$:
Так как $-\frac{1}{3}$ не является табличным значением, решение записывается напрямую через общую формулу.
Ответ: $\alpha = arctg\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.