Страница 242 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.20 a) $ \frac{1 - \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1} $;

б) $ \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} $.

а) Упростим выражение $ \frac{1 - \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1} $.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем минус за скобки, чтобы сгруппировать четвертые степени:

$ 1 - (\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Возведем обе части этого тождества в квадрат:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 = 1^2 $

$ \sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 $

Из этого равенства выразим сумму четвертых степеней синуса и косинуса:

$ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $

Теперь подставим полученное выражение обратно в числитель исходной дроби:

$ 1 - (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Далее преобразуем знаменатель: $ \sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1 $. Это выражение является формулой квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $, где $ a = \sin^2 \alpha $ и $ b = 1 $.

$ \sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1 = (\sin^2 \alpha - 1)^2 $

Из основного тригонометрического тождества следует, что $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $. Подставим это в знаменатель:

$ (-\cos^2 \alpha)^2 = \cos^4 \alpha $

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} $

Сократим дробь на $ \cos^2 \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):

$ \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2 \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right)^2 = 2 \tan^2 \alpha $.

Ответ: $ 2 \tan^2 \alpha $

б) Упростим выражение $ \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} $.

Числитель дроби представляет собой разность кубов $ a^3 - b^3 $. Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $, где $ a = \cos \alpha $ и $ b = \sin \alpha $.

$ \cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha) $

Во втором множителе сгруппируем $ \cos^2 \alpha $ и $ \sin^2 \alpha $. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получим:

$ (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \cos \alpha \sin \alpha = 1 + \sin \alpha \cos \alpha $

Таким образом, числитель преобразуется к виду:

$ (\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha) $

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в исходное выражение:

$ \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} $

Знаменатель $ 1 + \sin \alpha \cos \alpha $ никогда не равен нулю. Это можно показать, используя формулу синуса двойного угла: $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $. Так как область значений функции $ \sin(2\alpha) $ это отрезок $ [-1, 1] $, то $ \sin \alpha \cos \alpha $ принимает значения в отрезке $ [-0.5, 0.5] $. Следовательно, знаменатель $ 1 + \sin \alpha \cos \alpha $ всегда находится в диапазоне $ [1-0.5, 1+0.5] = [0.5, 1.5] $, то есть он всегда положителен. Поэтому мы можем безопасно сократить дробь на общий множитель $ (1 + \sin \alpha \cos \alpha) $.

В результате сокращения получаем:

$ \cos \alpha - \sin \alpha $

Ответ: $ \cos \alpha - \sin \alpha $

8.21 Определите знак выражения:

а) $ \operatorname{tg} 71^\circ \operatorname{tg} 139^\circ \operatorname{tg} 235^\circ \operatorname{tg} 304^\circ \operatorname{tg} (-393^\circ) \operatorname{tg} 1000^\circ $

б) $ \operatorname{ctg} 282^\circ \operatorname{ctg} (-401^\circ) \operatorname{ctg} (-910^\circ) \operatorname{ctg} 140^\circ \operatorname{ctg} 240^\circ $

в) $ \cos 1 \sin 3 \operatorname{tg} 4 \operatorname{ctg} 5 \operatorname{tg} 2 \operatorname{tg} 6 $

г) $ \operatorname{tg} 1,5 \operatorname{ctg} 4,5 \operatorname{tg} (-3,1) \operatorname{ctg} (-3,1) $

д) $ \frac{\sin 6 + \cos (-4)}{\operatorname{tg} (-2) \operatorname{ctg} (-4)} $

е) $ \frac{\sin (-8) + \cos 9}{\cos 11 \operatorname{tg} (-9)} $

а) Определим знак каждого множителя в выражении $\text{tg } 71^\circ \text{tg } 139^\circ \text{tg } 235^\circ \text{tg } 304^\circ \text{tg }(-393^\circ) \text{tg } 1000^\circ$.

1. Угол $71^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 71^\circ < 90^\circ$), где тангенс положителен: $\text{tg } 71^\circ > 0$.

2. Угол $139^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 139^\circ < 180^\circ$), где тангенс отрицателен: $\text{tg } 139^\circ < 0$.

3. Угол $235^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 235^\circ < 270^\circ$), где тангенс положителен: $\text{tg } 235^\circ > 0$.

4. Угол $304^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 304^\circ < 360^\circ$), где тангенс отрицателен: $\text{tg } 304^\circ < 0$.

5. Для $\text{tg}(-393^\circ)$ используем свойство нечетности тангенса: $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$. $\text{tg}(-393^\circ) = -\text{tg}(393^\circ)$. Приведем угол к основному периоду: $393^\circ = 360^\circ + 33^\circ$. $-\text{tg}(360^\circ + 33^\circ) = -\text{tg}(33^\circ)$. Угол $33^\circ$ в I четверти, $\text{tg } 33^\circ > 0$, следовательно, $-\text{tg}(33^\circ) < 0$.

6. Для $\text{tg}(1000^\circ)$ используем периодичность тангенса ($180^\circ$): $\text{tg}(x + 180^\circ \cdot n) = \text{tg}(x)$. $1000^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 100^\circ$. Значит, $\text{tg}(1000^\circ) = \text{tg}(100^\circ)$. Угол $100^\circ$ во II четверти, поэтому $\text{tg}(100^\circ) < 0$.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-)$. В произведении четыре отрицательных множителя, что дает положительный результат.

Ответ: Знак выражения положительный (+).

б) Определим знак каждого множителя в выражении $\text{ctg } 282^\circ \text{ctg }(-401^\circ) \text{ctg }(-910^\circ) \text{ctg } 140^\circ \text{ctg } 240^\circ$.

1. Угол $282^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 282^\circ < 360^\circ$), где котангенс отрицателен: $\text{ctg } 282^\circ < 0$.

2. Для $\text{ctg}(-401^\circ)$ используем свойство нечетности котангенса: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$. $\text{ctg}(-401^\circ) = -\text{ctg}(401^\circ) = -\text{ctg}(360^\circ + 41^\circ) = -\text{ctg}(41^\circ)$. Угол $41^\circ$ в I четверти, $\text{ctg } 41^\circ > 0$, следовательно, $-\text{ctg}(41^\circ) < 0$.

3. Для $\text{ctg}(-910^\circ)$ аналогично: $\text{ctg}(-910^\circ) = -\text{ctg}(910^\circ)$. Используем периодичность котангенса ($180^\circ$): $910^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 10^\circ$. $-\text{ctg}(910^\circ) = -\text{ctg}(10^\circ)$. Угол $10^\circ$ в I четверти, $\text{ctg } 10^\circ > 0$, следовательно, $-\text{ctg}(10^\circ) < 0$.

4. Угол $140^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$), где котангенс отрицателен: $\text{ctg } 140^\circ < 0$.

5. Угол $240^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$), где котангенс положителен: $\text{ctg } 240^\circ > 0$.

Перемножим знаки: $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+)$. В произведении четыре отрицательных множителя, что дает положительный результат.

Ответ: Знак выражения положительный (+).

в) Определим знак каждого множителя в выражении $\cos 1 \sin 3 \text{ tg } 4 \text{ ctg } 5 \text{ tg } 2 \text{ tg } 6$. Углы даны в радианах. Используем приближения: $\pi \approx 3.14$, $\pi/2 \approx 1.57$, $3\pi/2 \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

1. $0 < 1 < \pi/2$ (I четверть) $\implies \cos 1 > 0$.

2. $\pi/2 < 3 < \pi$ (II четверть) $\implies \sin 3 > 0$.

3. $\pi < 4 < 3\pi/2$ (III четверть) $\implies \text{tg } 4 > 0$.

4. $3\pi/2 < 5 < 2\pi$ (IV четверть) $\implies \text{ctg } 5 < 0$.

5. $\pi/2 < 2 < \pi$ (II четверть) $\implies \text{tg } 2 < 0$.

6. $3\pi/2 < 6 < 2\pi$ (IV четверть) $\implies \text{tg } 6 < 0$.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-)$. В произведении три отрицательных множителя, что дает отрицательный результат.

Ответ: Знак выражения отрицательный (–).

г) Определим знак выражения $\text{tg } 1.5 \text{ ctg } 4.5 \text{ tg }(-3.1) \text{ ctg }(-3.1)$. Углы даны в радианах.

1. $0 < 1.5 < \pi/2 \approx 1.57$ (I четверть) $\implies \text{tg } 1.5 > 0$.

2. $\pi \approx 3.14 < 4.5 < 3\pi/2 \approx 4.71$ (III четверть) $\implies \text{ctg } 4.5 > 0$.

3. Произведение $\text{tg}(-3.1) \cdot \text{ctg}(-3.1)$ равно 1, так как $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1$ для любого $\alpha$, при котором функции определены. Знак этого произведения положительный.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.

Ответ: Знак выражения положительный (+).

д) Определим знак выражения $\frac{\sin 6 + \cos (-4)}{\text{tg }(-2) \text{ctg }(-4)}$. Углы даны в радианах.

Определим знак числителя: $\sin 6 + \cos(-4) = \sin 6 + \cos 4$. - $3\pi/2 \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28$ (IV четверть) $\implies \sin 6 < 0$. - $\pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71$ (III четверть) $\implies \cos 4 < 0$. Сумма двух отрицательных чисел отрицательна, поэтому числитель меньше нуля.

Определим знак знаменателя: $\text{tg}(-2) \cdot \text{ctg}(-4)$. - Угол $-2$ радиана находится в III четверти ($-\pi \approx -3.14 < -2 < -\pi/2 \approx -1.57$), поэтому $\text{tg}(-2) > 0$. - Угол $-4$ радиана находится во II четверти ($-3\pi/2 \approx -4.71 < -4 < -\pi \approx -3.14$), поэтому $\text{ctg}(-4) < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно, поэтому знаменатель меньше нуля.

Знак дроби определяется отношением знака числителя к знаку знаменателя: $\frac{(-)}{(-)} = (+)$.

Ответ: Знак выражения положительный (+).

е) Определим знак выражения $\frac{\sin (-8) + \cos 9}{\cos 11 \text{ tg } (-9)}$. Углы даны в радианах.

Определим знак числителя: $\sin(-8) + \cos 9$. - $\sin(-8) = -\sin(8)$. Угол $8$ радиан эквивалентен $8 - 2\pi \approx 8 - 6.28 = 1.72$ радиана, что находится во II четверти ($\pi/2 < 1.72 < \pi$). Значит, $\sin 8 > 0$, а $\sin(-8) < 0$. - Угол $9$ радиан эквивалентен $9 - 2\pi \approx 9 - 6.28 = 2.72$ радиана, что находится во II четверти ($\pi/2 < 2.72 < \pi$). Значит, $\cos 9 < 0$. Сумма двух отрицательных чисел отрицательна, поэтому числитель меньше нуля.

Определим знак знаменателя: $\cos 11 \cdot \text{tg}(-9)$. - Угол $11$ радиан. $3\pi \approx 9.42$, $7\pi/2 \approx 10.99$, $4\pi \approx 12.56$. Так как $7\pi/2 < 11 < 4\pi$, угол находится в IV четверти. Значит, $\cos 11 > 0$. - $\text{tg}(-9) = -\text{tg}(9)$. Угол $9$ радиан находится во II четверти, где тангенс отрицателен ($\text{tg } 9 < 0$). Следовательно, $\text{tg}(-9) = -(\text{отриц.}) > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно, поэтому знаменатель больше нуля.

Знак дроби определяется отношением знака числителя к знаку знаменателя: $\frac{(-)}{(+)} = (-)$.

Ответ: Знак выражения отрицательный (–).

8.22 Вычислите:

a) sin $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\cos \alpha = \frac{3}{5}$;

б) cos $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$;

в) sin $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ и $\cos \alpha = -0,6$;

г) cos $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ и $\sin \alpha = -0,8$;

д) sin $\alpha$, cos $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\operatorname{tg} \alpha = 2,4$;

е) cos $\alpha$, sin $\alpha$ и tg $\alpha$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ и $\operatorname{ctg} \alpha = -1$;

ж) sin $\alpha$, если $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$ и $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12}$;

з) cos $\alpha$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ и $\operatorname{ctg} \alpha = 1$.

а) Дано: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (I четверть) и $cos\,\alpha = \frac{3}{5}$. В I четверти все тригонометрические функции положительны.
1. Найдем $sin\,\alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как $\alpha$ в I четверти, $sin\,\alpha > 0$, поэтому $sin\,\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
2. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
3. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $sin\,\alpha = \frac{4}{5}$, $tg\,\alpha = \frac{4}{3}$, $ctg\,\alpha = \frac{3}{4}$.

б) Дано: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть) и $sin\,\alpha = \frac{1}{2}$. Во II четверти $cos\,\alpha < 0$, $tg\,\alpha < 0$, $ctg\,\alpha < 0$.
1. Найдем $cos\,\alpha$ из $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Так как $\alpha$ во II четверти, $cos\,\alpha < 0$, поэтому $cos\,\alpha = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
3. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = \frac{1}{-1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $cos\,\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg\,\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\,\alpha = -\sqrt{3}$.

в) Дано: $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть) и $cos\,\alpha = -0,6$. В III четверти $sin\,\alpha < 0$, $tg\,\alpha > 0$, $ctg\,\alpha > 0$.
1. Найдем $sin\,\alpha$ из $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Так как $\alpha$ в III четверти, $sin\,\alpha < 0$, поэтому $sin\,\alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8$.
2. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha} = \frac{-0,8}{-0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
3. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $sin\,\alpha = -0,8$, $tg\,\alpha = \frac{4}{3}$, $ctg\,\alpha = \frac{3}{4}$.

г) Дано: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (IV четверть) и $sin\,\alpha = -0,8$. В IV четверти $cos\,\alpha > 0$, $tg\,\alpha < 0$, $ctg\,\alpha < 0$.
1. Найдем $cos\,\alpha$ из $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Так как $\alpha$ в IV четверти, $cos\,\alpha > 0$, поэтому $cos\,\alpha = \sqrt{0,36} = 0,6$.
2. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha} = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
3. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $cos\,\alpha = 0,6$, $tg\,\alpha = -\frac{4}{3}$, $ctg\,\alpha = -\frac{3}{4}$.

д) Дано: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (I четверть) и $tg\,\alpha = 2,4 = \frac{12}{5}$. В I четверти все функции положительны.
1. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.
2. Найдем $cos\,\alpha$ из тождества $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$:
$cos^2\alpha = \frac{1}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1}{1 + (2,4)^2} = \frac{1}{1 + 5,76} = \frac{1}{6,76}$.
Так как $\alpha$ в I четверти, $cos\,\alpha > 0$, поэтому $cos\,\alpha = \sqrt{\frac{1}{6,76}} = \frac{1}{2,6} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$.
3. Найдем $sin\,\alpha$ из формулы $tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha}$:
$sin\,\alpha = tg\,\alpha \cdot cos\,\alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $sin\,\alpha = \frac{12}{13}$, $cos\,\alpha = \frac{5}{13}$, $ctg\,\alpha = \frac{5}{12}$.

е) Дано: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть) и $ctg\,\alpha = -1$. Во II четверти $sin\,\alpha > 0$, $cos\,\alpha < 0$, $tg\,\alpha < 0$.
1. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{1}{ctg\,\alpha} = \frac{1}{-1} = -1$.
2. Найдем $sin\,\alpha$ из тождества $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$:
$sin^2\alpha = \frac{1}{1 + ctg^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-1)^2} = \frac{1}{2}$.
Так как $\alpha$ во II четверти, $sin\,\alpha > 0$, поэтому $sin\,\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Найдем $cos\,\alpha$ из формулы $ctg\,\alpha = \frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha}$:
$cos\,\alpha = ctg\,\alpha \cdot sin\,\alpha = -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $cos\,\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin\,\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $tg\,\alpha = -1$.

ж) Дано: $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$ (IV четверть) и $tg\,\alpha = -\frac{5}{12}$. В IV четверти $sin\,\alpha < 0$.
1. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.
2. Найдем $sin\,\alpha$ из тождества $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$:
$sin^2\alpha = \frac{1}{1 + ctg^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{25}{169}$.
Так как $\alpha$ в IV четверти, $sin\,\alpha < 0$, поэтому $sin\,\alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.
Ответ: $sin\,\alpha = -\frac{5}{13}$.

з) Дано: $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть) и $ctg\,\alpha = 1$. В III четверти $cos\,\alpha < 0$.
1. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{1}{ctg\,\alpha} = \frac{1}{1} = 1$.
2. Найдем $cos\,\alpha$ из тождества $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$:
$cos^2\alpha = \frac{1}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}$.
Так как $\alpha$ в III четверти, $cos\,\alpha < 0$, поэтому $cos\,\alpha = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $cos\,\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Упростите выражение (8.23—8.25):

8.23 a) $\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$;

б) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$;

В) $\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$;

г) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$;

д) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha$;

е) $1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$;

ж) $\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$;

з) $\frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}$.

а) Для упрощения выражения $\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Из него следуют два равенства: $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$ и $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Так как по определению $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, то полученное выражение равно $\tan^2 \alpha$.

Ответ: $\tan^2 \alpha$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$. Снова используем основное тригонометрическое тождество. В числителе: $\sin^2 \alpha - 1 = -(1 - \sin^2 \alpha) = -\cos^2 \alpha$. В знаменателе: $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Подставляем в дробь:

$\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Так как по определению $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, то полученное выражение равно $-\cot^2 \alpha$.

Ответ: $-\cot^2 \alpha$.

в) Упростим выражение $\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$.

Знаменатель дроби, согласно основному тригонометрическому тождеству, равен: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Подставим это в выражение:

$\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Сократим дробь на $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):

$\frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} = 2 \tan \alpha$

Ответ: $2 \tan \alpha$.

г) Упростим выражение $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Используя основное тождество $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$, получаем:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha$

Также можно было использовать тождество $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, из которого сразу следует, что $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \tan^2 \alpha$.

Ответ: $\tan^2 \alpha$.

д) Рассмотрим выражение $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \ctg^2 \alpha$.

Сумма первых двух слагаемых по основному тригонометрическому тождеству равна 1:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Тогда выражение принимает вид:

$1 + \ctg^2 \alpha$

Используя тождество $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем окончательный результат.

Ответ: $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

е) Упростим выражение $1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Приведем к общему знаменателю:

$1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}$

Из основного тождества следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.

$\frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\cot^2 \alpha$

Ответ: $-\cot^2 \alpha$.

ж) Упростим выражение $\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$.

Сгруппируем множители следующим образом:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Используя определение тангенса, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$\tan \alpha \cdot \tan \beta$

Ответ: $\tan \alpha \tan \beta$.

з) Упростим выражение $\frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}$.

Сгруппируем множители:

$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Используя определения котангенса, $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, и тангенса, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$\cot \alpha \cdot \tan \beta$

Ответ: $\cot \alpha \tan \beta$.

8.24 a) $\sin \beta \operatorname{ctg} \beta$;

б) $\operatorname{tg} \alpha : \operatorname{ctg} \alpha$;

В) $\sin \beta : \operatorname{tg} \beta$;

Г) $\cos \alpha \operatorname{tg} \alpha$;

Д) $\cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)$;

е) $1 - \sin^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$;

ж) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}$;

з) $\frac{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}$.

а)

Чтобы упростить выражение $ \sin \beta \operatorname{ctg} \beta $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, определяющим котангенс: $ \operatorname{ctg} \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $.

Подставим это определение в исходное выражение:

$ \sin \beta \operatorname{ctg} \beta = \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $

Сократим $ \sin \beta $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin \beta \neq 0 $):

$ \frac{\sin \beta \cdot \cos \beta}{\sin \beta} = \cos \beta $

Ответ: $ \cos \beta $

б)

Нужно упростить выражение $ \operatorname{tg} \alpha : \operatorname{ctg} \alpha $, что эквивалентно дроби $ \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} $.

Используем тождество, связывающее тангенс и котангенс: $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} $.

Подставим это в знаменатель дроби:

$ \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей:

$ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha $

Ответ: $ \operatorname{tg}^2 \alpha $

в)

Упростим выражение $ \sin \beta : \operatorname{tg} \beta $, или $ \frac{\sin \beta}{\operatorname{tg} \beta} $.

Воспользуемся определением тангенса: $ \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $.

Подставим это в знаменатель:

$ \frac{\sin \beta}{\frac{\sin \beta}{\cos \beta}} $

Разделим на дробь, умножив на обратную:

$ \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \cos \beta $

Ответ: $ \cos \beta $

г)

Упростим выражение $ \cos \alpha \operatorname{tg} \alpha $.

Используем определение тангенса: $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.

Подставим в выражение:

$ \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

Сократим $ \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):

$ \sin \alpha $

Ответ: $ \sin \alpha $

д)

Упростим выражение $ \cos^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) $.

Используем одно из основных тригонометрических тождеств: $ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

Сокращаем $ \cos^2 \alpha $:

$ 1 $

Ответ: $ 1 $

е)

Упростим выражение $ 1 - \sin^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

Сначала воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.

Выражение принимает вид: $ \cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

Теперь используем определение котангенса: $ \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Подставим его в выражение:

$ \cos^2 \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha $

Сократим $ \sin^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha $

Ответ: $ 2\cos^2 \alpha $

ж)

Упростим дробное выражение $ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta} $.

Преобразуем знаменатель, выразив котангенсы через тангенсы: $ \operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} $.

$ \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} + \frac{1}{\operatorname{tg} \beta} $

Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю:

$ \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} + \frac{1}{\operatorname{tg} \beta} = \frac{\operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $

Теперь подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}} $

Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):

$ (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) \cdot \frac{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} $

Сократим одинаковые множители $ (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) $:

$ \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta $

Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta $

з)

Упростим выражение $ \frac{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha} $.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус.

Числитель: $ \cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Вынесем $ \cos^2 \alpha $ за скобки: $ \cos^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) = \cos^2 \alpha \left(\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}\right) $.

Используя тождество $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $, получаем: $ \cos^2 \alpha \left(\frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right) = -\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Знаменатель: $ \sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.

Вынесем $ \sin^2 \alpha $ за скобки: $ \sin^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha}\right) $.

Используя тождество $ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $, получаем: $ \sin^2 \alpha \left(\frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) = -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{-\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} = \frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha} $

По определению котангенса, $ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha $, следовательно:

$ \frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha} = \operatorname{ctg}^6 \alpha $

Ответ: $ \operatorname{ctg}^6 \alpha $