Номер 8.21, страница 242 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.21, страница 242.

8.21 Определите знак выражения:

а) $ \operatorname{tg} 71^\circ \operatorname{tg} 139^\circ \operatorname{tg} 235^\circ \operatorname{tg} 304^\circ \operatorname{tg} (-393^\circ) \operatorname{tg} 1000^\circ $

б) $ \operatorname{ctg} 282^\circ \operatorname{ctg} (-401^\circ) \operatorname{ctg} (-910^\circ) \operatorname{ctg} 140^\circ \operatorname{ctg} 240^\circ $

в) $ \cos 1 \sin 3 \operatorname{tg} 4 \operatorname{ctg} 5 \operatorname{tg} 2 \operatorname{tg} 6 $

г) $ \operatorname{tg} 1,5 \operatorname{ctg} 4,5 \operatorname{tg} (-3,1) \operatorname{ctg} (-3,1) $

д) $ \frac{\sin 6 + \cos (-4)}{\operatorname{tg} (-2) \operatorname{ctg} (-4)} $

е) $ \frac{\sin (-8) + \cos 9}{\cos 11 \operatorname{tg} (-9)} $

а) Определим знак каждого множителя в выражении $\text{tg } 71^\circ \text{tg } 139^\circ \text{tg } 235^\circ \text{tg } 304^\circ \text{tg }(-393^\circ) \text{tg } 1000^\circ$.

1. Угол $71^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 71^\circ < 90^\circ$), где тангенс положителен: $\text{tg } 71^\circ > 0$.

2. Угол $139^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 139^\circ < 180^\circ$), где тангенс отрицателен: $\text{tg } 139^\circ < 0$.

3. Угол $235^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 235^\circ < 270^\circ$), где тангенс положителен: $\text{tg } 235^\circ > 0$.

4. Угол $304^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 304^\circ < 360^\circ$), где тангенс отрицателен: $\text{tg } 304^\circ < 0$.

5. Для $\text{tg}(-393^\circ)$ используем свойство нечетности тангенса: $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$. $\text{tg}(-393^\circ) = -\text{tg}(393^\circ)$. Приведем угол к основному периоду: $393^\circ = 360^\circ + 33^\circ$. $-\text{tg}(360^\circ + 33^\circ) = -\text{tg}(33^\circ)$. Угол $33^\circ$ в I четверти, $\text{tg } 33^\circ > 0$, следовательно, $-\text{tg}(33^\circ) < 0$.

6. Для $\text{tg}(1000^\circ)$ используем периодичность тангенса ($180^\circ$): $\text{tg}(x + 180^\circ \cdot n) = \text{tg}(x)$. $1000^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 100^\circ$. Значит, $\text{tg}(1000^\circ) = \text{tg}(100^\circ)$. Угол $100^\circ$ во II четверти, поэтому $\text{tg}(100^\circ) < 0$.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-)$. В произведении четыре отрицательных множителя, что дает положительный результат.

Ответ: Знак выражения положительный (+).

б) Определим знак каждого множителя в выражении $\text{ctg } 282^\circ \text{ctg }(-401^\circ) \text{ctg }(-910^\circ) \text{ctg } 140^\circ \text{ctg } 240^\circ$.

1. Угол $282^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 282^\circ < 360^\circ$), где котангенс отрицателен: $\text{ctg } 282^\circ < 0$.

2. Для $\text{ctg}(-401^\circ)$ используем свойство нечетности котангенса: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$. $\text{ctg}(-401^\circ) = -\text{ctg}(401^\circ) = -\text{ctg}(360^\circ + 41^\circ) = -\text{ctg}(41^\circ)$. Угол $41^\circ$ в I четверти, $\text{ctg } 41^\circ > 0$, следовательно, $-\text{ctg}(41^\circ) < 0$.

3. Для $\text{ctg}(-910^\circ)$ аналогично: $\text{ctg}(-910^\circ) = -\text{ctg}(910^\circ)$. Используем периодичность котангенса ($180^\circ$): $910^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 10^\circ$. $-\text{ctg}(910^\circ) = -\text{ctg}(10^\circ)$. Угол $10^\circ$ в I четверти, $\text{ctg } 10^\circ > 0$, следовательно, $-\text{ctg}(10^\circ) < 0$.

4. Угол $140^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$), где котангенс отрицателен: $\text{ctg } 140^\circ < 0$.

5. Угол $240^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$), где котангенс положителен: $\text{ctg } 240^\circ > 0$.

Перемножим знаки: $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+)$. В произведении четыре отрицательных множителя, что дает положительный результат.

Ответ: Знак выражения положительный (+).

в) Определим знак каждого множителя в выражении $\cos 1 \sin 3 \text{ tg } 4 \text{ ctg } 5 \text{ tg } 2 \text{ tg } 6$. Углы даны в радианах. Используем приближения: $\pi \approx 3.14$, $\pi/2 \approx 1.57$, $3\pi/2 \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

1. $0 < 1 < \pi/2$ (I четверть) $\implies \cos 1 > 0$.

2. $\pi/2 < 3 < \pi$ (II четверть) $\implies \sin 3 > 0$.

3. $\pi < 4 < 3\pi/2$ (III четверть) $\implies \text{tg } 4 > 0$.

4. $3\pi/2 < 5 < 2\pi$ (IV четверть) $\implies \text{ctg } 5 < 0$.

5. $\pi/2 < 2 < \pi$ (II четверть) $\implies \text{tg } 2 < 0$.

6. $3\pi/2 < 6 < 2\pi$ (IV четверть) $\implies \text{tg } 6 < 0$.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-)$. В произведении три отрицательных множителя, что дает отрицательный результат.

Ответ: Знак выражения отрицательный (–).

г) Определим знак выражения $\text{tg } 1.5 \text{ ctg } 4.5 \text{ tg }(-3.1) \text{ ctg }(-3.1)$. Углы даны в радианах.

1. $0 < 1.5 < \pi/2 \approx 1.57$ (I четверть) $\implies \text{tg } 1.5 > 0$.

2. $\pi \approx 3.14 < 4.5 < 3\pi/2 \approx 4.71$ (III четверть) $\implies \text{ctg } 4.5 > 0$.

3. Произведение $\text{tg}(-3.1) \cdot \text{ctg}(-3.1)$ равно 1, так как $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1$ для любого $\alpha$, при котором функции определены. Знак этого произведения положительный.

Перемножим знаки: $(+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.

Ответ: Знак выражения положительный (+).

д) Определим знак выражения $\frac{\sin 6 + \cos (-4)}{\text{tg }(-2) \text{ctg }(-4)}$. Углы даны в радианах.

Определим знак числителя: $\sin 6 + \cos(-4) = \sin 6 + \cos 4$. - $3\pi/2 \approx 4.71 < 6 < 2\pi \approx 6.28$ (IV четверть) $\implies \sin 6 < 0$. - $\pi \approx 3.14 < 4 < 3\pi/2 \approx 4.71$ (III четверть) $\implies \cos 4 < 0$. Сумма двух отрицательных чисел отрицательна, поэтому числитель меньше нуля.

Определим знак знаменателя: $\text{tg}(-2) \cdot \text{ctg}(-4)$. - Угол $-2$ радиана находится в III четверти ($-\pi \approx -3.14 < -2 < -\pi/2 \approx -1.57$), поэтому $\text{tg}(-2) > 0$. - Угол $-4$ радиана находится во II четверти ($-3\pi/2 \approx -4.71 < -4 < -\pi \approx -3.14$), поэтому $\text{ctg}(-4) < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно, поэтому знаменатель меньше нуля.

Знак дроби определяется отношением знака числителя к знаку знаменателя: $\frac{(-)}{(-)} = (+)$.

Ответ: Знак выражения положительный (+).

е) Определим знак выражения $\frac{\sin (-8) + \cos 9}{\cos 11 \text{ tg } (-9)}$. Углы даны в радианах.

Определим знак числителя: $\sin(-8) + \cos 9$. - $\sin(-8) = -\sin(8)$. Угол $8$ радиан эквивалентен $8 - 2\pi \approx 8 - 6.28 = 1.72$ радиана, что находится во II четверти ($\pi/2 < 1.72 < \pi$). Значит, $\sin 8 > 0$, а $\sin(-8) < 0$. - Угол $9$ радиан эквивалентен $9 - 2\pi \approx 9 - 6.28 = 2.72$ радиана, что находится во II четверти ($\pi/2 < 2.72 < \pi$). Значит, $\cos 9 < 0$. Сумма двух отрицательных чисел отрицательна, поэтому числитель меньше нуля.

Определим знак знаменателя: $\cos 11 \cdot \text{tg}(-9)$. - Угол $11$ радиан. $3\pi \approx 9.42$, $7\pi/2 \approx 10.99$, $4\pi \approx 12.56$. Так как $7\pi/2 < 11 < 4\pi$, угол находится в IV четверти. Значит, $\cos 11 > 0$. - $\text{tg}(-9) = -\text{tg}(9)$. Угол $9$ радиан находится во II четверти, где тангенс отрицателен ($\text{tg } 9 < 0$). Следовательно, $\text{tg}(-9) = -(\text{отриц.}) > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно, поэтому знаменатель больше нуля.

Знак дроби определяется отношением знака числителя к знаку знаменателя: $\frac{(-)}{(+)} = (-)$.

Ответ: Знак выражения отрицательный (–).