Номер 8.19, страница 241 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.19, страница 241.

8.19 a) $\frac{\sin (2\pi - \alpha) \sin (\alpha - \pi) \cos (\alpha - 2\pi)}{\cos (2\pi - \alpha) \operatorname{ctg} (\pi - \alpha) \operatorname{tg} (3\pi - \alpha)};$

б) $\frac{\sin (\pi + \alpha) \sin (\alpha - \pi) \cos (2\pi - \alpha) \operatorname{tg} (3\pi - \alpha)}{\cos (\pi - \alpha) \cos (\alpha - 5\pi) \cos (2\pi + \alpha) \operatorname{tg} (-\alpha - \pi)}.$

а) Упростим выражение $ \frac{\sin(2\pi - \alpha) \sin(\alpha - \pi) \cos(\alpha - 2\pi)}{\cos(2\pi - \alpha) \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) \operatorname{tg}(3\pi - \alpha)} $.

Для этого воспользуемся формулами приведения и свойствами тригонометрических функций. Преобразуем каждый множитель:

• $ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол в IV четверти, синус отрицательный).

• $ \sin(\alpha - \pi) = \sin(-(\pi - \alpha)) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $ (используем нечетность синуса и формулу приведения для II четверти).

• $ \cos(\alpha - 2\pi) = \cos(\alpha) $ (используем периодичность косинуса, период $2\pi$).

• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $ (угол в IV четверти, косинус положительный).

• $ \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha) $ (угол во II четверти, котангенс отрицательный).

• $ \operatorname{tg}(3\pi - \alpha) = \operatorname{tg}(2\pi + \pi - \alpha) = \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $ (используем периодичность тангенса, период $\pi$).

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$ \frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha)) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha))} = \frac{\sin^2(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot (\operatorname{ctg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha))} $

Мы знаем, что $ \operatorname{ctg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha) = 1 $ (при условии, что $ \alpha \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $). Значит, знаменатель равен $ \cos(\alpha) $.

Получаем:

$ \frac{\sin^2(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

Сокращаем $ \cos(\alpha) $ (при условии $ \cos(\alpha) \neq 0 $):

$ \sin^2(\alpha) $

Ответ: $ \sin^2(\alpha) $

б) Упростим выражение $ \frac{\sin(\pi + \alpha) \sin(\alpha - \pi) \cos(2\pi - \alpha) \operatorname{tg}(3\pi - \alpha)}{\cos(\pi - \alpha) \cos(\alpha - 5\pi) \cos(2\pi + \alpha) \operatorname{tg}(-\alpha - \pi)} $.

Преобразуем каждый множитель, используя формулы приведения и свойства периодичности.

• $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (III четверть).

• $ \sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $.

• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $.

• $ \operatorname{tg}(3\pi - \alpha) = \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $.

• $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (II четверть).

• $ \cos(\alpha - 5\pi) = \cos(\alpha - \pi - 4\pi) = \cos(\alpha - \pi) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.

• $ \cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha) $.

• $ \operatorname{tg}(-\alpha - \pi) = \operatorname{tg}(-(\pi + \alpha)) = -\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $.

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$ \frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha))}{(-\cos(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha) \cdot (-\operatorname{tg}(\alpha))} = \frac{-\sin^2(\alpha) \cos(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha)}{-\cos^3(\alpha) \operatorname{tg}(\alpha)} $

Сокращаем общие множители (при условии, что они не равны нулю):

$ \frac{\sin^2(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos^3(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} $

По определению тангенса $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, следовательно:

$ \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = (\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)})^2 = \operatorname{tg}^2(\alpha) $

Ответ: $ \operatorname{tg}^2(\alpha) $