Номер 8.11, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.1. Определение тангенса и котангенса угла - номер 8.11, страница 239.

Условие.

8.11 a) $tg \alpha = -1$;

б) $tg \alpha = -2$;

в) $tg \alpha = -3$;

г) $tg \alpha = -4$;

д) $tg \alpha = -\frac{1}{2}$;

е) $tg \alpha = -\frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для решения уравнения вида $ \tg \alpha = a $ используется общая формула $ \alpha = \arctan(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В данном случае дано уравнение $ \tg \alpha = -1 $, следовательно, $ a = -1 $. Подставим это значение в формулу: $ \alpha = \arctan(-1) + \pi k $. Поскольку $ \arctan(-1) $ является табличным значением и равно $ -\frac{\pi}{4} $, получаем окончательное решение.
Ответ: $ \alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Для уравнения $ \tg \alpha = -2 $ применяем ту же общую формулу $ \alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = -2 $. Решение имеет вид $ \alpha = \arctan(-2) + \pi k $. Так как -2 не является стандартным табличным значением для тангенса, ответ принято оставлять в таком виде. Используя свойство нечетности арктангенса, $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $, можно записать решение как $ \alpha = -\arctan(2) + \pi k $.
Ответ: $ \alpha = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) В уравнении $ \tg \alpha = -3 $ значение $ a = -3 $. По общей формуле $ \alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ получаем $ \alpha = \arctan(-3) + \pi k $. Применяя свойство нечетности арктангенса, $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $, получаем окончательный вид решения.
Ответ: $ \alpha = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) В уравнении $ \tg \alpha = -4 $ значение $ a = -4 $. По общей формуле $ \alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ получаем $ \alpha = \arctan(-4) + \pi k $. Применяя свойство нечетности арктангенса, $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $, получаем окончательный вид решения.
Ответ: $ \alpha = -\arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

д) В уравнении $ \tg \alpha = -\frac{1}{2} $ значение $ a = -\frac{1}{2} $. По общей формуле $ \alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ получаем $ \alpha = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k $. Применяя свойство нечетности арктангенса, $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $, получаем окончательный вид решения.
Ответ: $ \alpha = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

е) В уравнении $ \tg \alpha = -\frac{1}{3} $ значение $ a = -\frac{1}{3} $. По общей формуле $ \alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $ получаем $ \alpha = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k $. Применяя свойство нечетности арктангенса, $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $, получаем окончательный вид решения.
Ответ: $ \alpha = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.