Номер 8.7, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.7, страница 238.

8.7 Какие знаки имеют тангенс и котангенс угла $\alpha$, если точка единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$, расположена: в I четверти; во II четверти; в III четверти; в IV четверти?

Чтобы определить знаки тангенса и котангенса угла $\alpha$, необходимо рассмотреть знаки синуса и косинуса этого угла в каждой из координатных четвертей. На единичной окружности точке, соответствующей углу $\alpha$, соответствуют координаты $(x, y)$, где $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

Тангенс угла определяется по формуле $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x}$.

Котангенс угла определяется по формуле $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{x}{y}$.

Знак тангенса и котангенса зависит от знаков $x$ и $y$ в каждой четверти. Поскольку тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами ($\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$), они всегда имеют одинаковые знаки.

в I четверти

В I четверти (углы от 0° до 90°) обе координаты точки на единичной окружности положительны: $x > 0$ (косинус положителен) и $y > 0$ (синус положителен).
Следовательно:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{(+)}{(+)} > 0$ (положителен).
$\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{(+)}{(+)} > 0$ (положителен).
Ответ: в I четверти тангенс и котангенс имеют знак «плюс» (+).

во II четверти

Во II четверти (углы от 90° до 180°) абсцисса точки отрицательна, а ордината положительна: $x < 0$ (косинус отрицателен) и $y > 0$ (синус положителен).
Следовательно:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{(+)}{(-)} < 0$ (отрицателен).
$\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{(-)}{(+)} < 0$ (отрицателен).
Ответ: во II четверти тангенс и котангенс имеют знак «минус» (–).

в III четверти

В III четверти (углы от 180° до 270°) обе координаты точки отрицательны: $x < 0$ (косинус отрицателен) и $y < 0$ (синус отрицателен).
Следовательно:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{(-)}{(-)} > 0$ (положителен).
$\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{(-)}{(-)} > 0$ (положителен).
Ответ: в III четверти тангенс и котангенс имеют знак «плюс» (+).

в IV четверти

В IV четверти (углы от 270° до 360°) абсцисса точки положительна, а ордината отрицательна: $x > 0$ (косинус положителен) и $y < 0$ (синус отрицателен).
Следовательно:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{(-)}{(+)} < 0$ (отрицателен).
$\cot(\alpha) = \frac{x}{y} = \frac{(+)}{(-)} < 0$ (отрицателен).
Ответ: в IV четверти тангенс и котангенс имеют знак «минус» (–).